希爾伯特空間

　　n維歐幾裏得空間的推廣，可視為無限維的歐幾裏得空間，是泛函分析的基本研究物件之一。第一個具體的希爾伯特空間是20世紀初由D.希爾伯特提出，他在研究積分方程時，在平方可和的無窮實數序列x=(x₁,x₂,…)組成的線性空間l²中定義瞭內積：

並把 l ²視作無限維的歐幾裡得空間，此後人們把定義瞭內積的線性空間（見 向量空間）稱為希爾伯特空間。

　　設H是實數域或復數域上的線性空間。如果對於H中任何兩個有序元素x與y，都對應於一個復數(x,y)，並滿足下列條件：①(x,x)≥0，當且僅當x=0時(x,x)=0；②(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z)對任意x,y,z∈H與α,β∈C成立；③對任意x,y∈H,(x,y)=

，則稱在 H上定義瞭內積。定義瞭內積的線性空間稱作 內積空間。

　　設H是一內積空間。這時內積在H上誘導瞭一個范數

，因而 H成為一個賦范空間。如果 H作為一個線性賦范空間是完備的(見 巴拿赫空間)，那麼 H稱為希爾伯特空間。

　　在內積空間中，由內積導出的范數必有下列公式：

它是平面幾何中平行四邊形公式的推廣。反之，若一個賦范線性空間中的范數成立上述公式，則該范數一定由某內積空間的內積所誘導。

　　由內積定義還立即導出施瓦茲不等式：

在內積空間中，若( x, y)=0則稱 x與 y正交，記作 x⊥ y。此時成立勾股定理： 設 M是內積空間 H的一個子集。若 x與 M中一切元素正交，則稱 x與 M正交，記為 x⊥ M。

　　希爾伯特空間理論中的一個基本定理是所謂投影定理：設M是希爾伯特空間H中的凸閉子集，則對H中的每一個元素x，都存在M中唯一的y，使得

特別地，當 M是 H的一個閉線性子空間時， z= x－ y必與 M正交。這個定理不僅在理論研究中，而且在許多應用學科，如數值計算、最優化等方面也有廣泛應用。

　　對於希爾伯特空間H上的任一連續線性泛函F，都存在唯一的y∈H，使得F(x)=(x,y)，並且有

。這就是 裡斯的連續線性泛函表示定理。這個定理是說，希爾伯特空間 H與其對偶空間 H ^*之間存在一個保持范數的同構。這個結果在希爾伯特空間算子理論中具有重要地位。