大數量粒子的一種統計平均性行為。漲落分兩種：一種是由於物質不連續性引起的、作為統計平均值的宏觀量在平均值附近圍繞平均值的漲落；另一種是由於作熱運動的大量媒質分子對宏觀小物體的無規則碰撞，導致小物體隨機運動引起的漲落。這種漲落以佈朗運動為代表，所以又叫佈朗運動。

　　圍繞平均值的漲落　宏觀熱力學理論忽視物質的原子結構，把物質作為連續體處理，因而不能解釋漲落現象，對此需用統計計方法來研究。統計物理學方法的要點是在一定宏觀條件下，采用一個適當的系綜分佈函數求某物理量的平均值。理論上的平均值隻代表對大量微觀運動狀態的平均結果，對某物理量的某一次觀測值並不一定等於它的平均值。因此，在物理量的觀測值上會出現漲落。若系統所包含的粒子數很多，則宏觀量觀測值的漲落相對於平均值很小，往往可以完全忽略；若系統很小，漲落就會比較顯著，當觀測手段很精確，儀器很靈敏，漲落就可被觀測到；當系統處於臨界狀態時，某些物理量會發生很顯著的漲落。

　　研究物理量圍繞平均值的漲落時，主要運用愛因斯坦分佈公式，它描述物理量對其平均值偏離的幾率分佈。

　　當系統和它的媒質處於平衡狀態，在它們組成的大孤立系統中，系統的參量落在間隔

…， m)的幾率是

式中S(A1，A2，…，Am)是當系統m個參量分別為A1、A2、…、Am時大孤立系統的熵，k是玻耳茲曼常數。

　　隻有能量漲落的情形　根據愛因斯坦公式，系統的能量在E到E+dE間隔內的幾率是

式中S(E)是系統的能量為E時大孤立系統的熵，常數可由歸一化條件確定。由上式可以導出能量對其平均值的偏離ΔE＝E-Ē的幾率分佈公式

式中T、CV分別是系統的熱力學溫度和定容熱容。能量的均方漲落為

對於平衡的理想氣體系統，內能Ē＝CVT，則能量的相對漲落是

可見，能量的相對漲落同粒子數的二次方根成反比。

　　同時有兩個熱力學量漲落的情形　以ΔE 和ΔV表示系統的能量和體積對其平均值的偏離，根據愛因斯坦公式，系統的能量、體積對其平均值的偏離的幾率分佈為

式中S(ΔE，ΔV)是在發生漲落時，大孤立系統的熵變。如果ΔE＝ΔV＝0，則S取極大值。

　　用變數變換可以把熵變作為內能(即Ē)U、體積 V和壓強p的熱力學關系

變成溫度T和體積V對於其平均值偏離函數的二次方和的形式

溫度和體積偏離的幾率分佈是

式中常數由歸一化條件確定。由ΔS(ΔE， ΔV)式可看出，式中出現 ΔEΔV 這樣的交叉項，其平均值不等於零，因而能量和體積的漲落不是彼此獨立的。但溫度和體積的漲落卻是彼此獨立，它們的交叉平均值等於零，因而溫度和體積的均方漲落分別為

式中

是等溫壓縮系數。如果作另一種變換，則可得出熵同壓強的漲落是彼此獨立的結論。它們的均方漲落是

式中Cp是定壓熱容，

是絕熱壓縮系數。

　　若同時考慮能量和粒子數漲落的情形，則可看出這兩個量的漲落不是彼此獨立的，並可求得常用的粒子數均方漲落公式

利用熱力學關系，上式又可寫作

。

可見，系統的體積愈小，壓縮系數愈大，粒子數或體積的漲落就愈大。對於一給定體積的理想氣體系統，利用上式，容易求得粒子數的相對漲落為

由此式和能量相對漲落公式看出，系統的粒子數愈多，漲落愈小，反之，漲落就愈大。

　　量子氣體宏觀參量的漲落　應用粒子數的漲落公式，可以算出理想的玻色子系統和費密子系統粒子按不同量子態分佈的漲落。考慮處於第j 個量子態的n j個粒子的集合，由於這一組粒子與氣體中其餘粒子是完全統計獨立的，於是，把粒子數相對漲落公式用於這組粒子，可得到

式中n̄j是處於第j個量子態的平均粒子數

式中“+”號對應於費密理想氣體，“-”號對應於玻色理想氣體。顯然，對於玻耳茲曼氣體，由於

，則有

上式正是在n̄j

1時，第 j個量子態平均粒子數所趨向的結果。

　　天空呈藍色的原因　如果體積的偏離ΔV很小，則由體積均方漲落公式可以導出質量密度ρ 的相對均方漲落為

。由於媒質分子熱運動引起的這種密度漲落導致入射到介質的小體元上的光受到散射，叫做瑞利散射。瑞利證明：當波長為 λ、通過單位面積的強度為1的光射到體積比 λ 3小、折射率為 n的媒質上時，單位媒質在垂直於入射光方向單位立體角內散射的光強度為

式中 Δn 是分子密度的漲落引起的折射率的偏離。按照洛倫茲的折射公式

，可使上式變形為

它表明：壓縮率愈大、波長愈短，散射就愈強。而藍波波長比紅、黃波的都短，所以天空呈現藍色（見光的散射）。

　　佈朗運動　佈朗運動是一種漲落現象。懸浮在液體中的佈朗粒子由於受到周圍媒質分子不平衡碰撞而作連續的激烈的不規則運動。A.愛因斯坦揭示瞭佈朗粒子的擴散系數D和它的遷移率μ之間的關系

D＝μ k T，

式中T是熱力學溫度，k是玻耳茲曼常數。這個簡單的關系是漲落耗散定理最原始的形式。1908年J.B.佩蘭完成瞭定量觀測佈朗運動的實驗工作。這樣，佈朗運動的性質及其解釋就完全清楚瞭。

　　朗之萬方法　傳統上研究這種漲落的主要途徑。隻討論佈朗粒子運動在水平方向的投影，若沒有其他外力存在，它的運動遵從朗之萬方程

式中

， η是流體的粘滯系數， ɑ是佈朗粒子的半徑， F( t)是一種漲落很快，引起粒子在 x方向作無規運動的分力。對大數佈朗粒子進行平均，並利用統計物理學中的正則分佈，即可求出方程的解。設 t=0時， x＝0，由於 β的數值很大，則在很短的時間（如 10 -6秒後），佈朗粒子的均方位移為

這個結果同實驗符合得很好。

與 t而不是 t 2成正比，反映瞭粒子的運動是典型的無規過程的例子。這說明佈朗運動不是單純的機械運動。

　　扭擺運動的漲落　佈朗運動所顯現出來的漲落現象極其普遍，它不限於微粒子的運動。例如在電流計或其他儀器中，用細絲懸掛的反射鏡由於受到周圍氣體分子的撞擊，在不平衡的力矩作用下作不規則的扭擺運動，應用正則分佈可導出

，

式中B是彈性系數，θ是轉動的角度。反射鏡的佈朗運動這類漲落現象的存在，使測量儀器的靈敏度受到限制而不能超過某一限度。

　　電路中的漲落　電路中存在著漲落現象，例如電流、電壓的漲落，通過線路的放大，引起噪聲。從噪聲的來源說，有兩種效應：一種是W.H.肖脫基在1918年發現的散粒效應，它是由於真空管陰極發射電子的無規則性引起的；另一種是J.B.江孫在1928年發現的，它是由於導體內電子的熱運動引起的。運用傅裡葉分析研究佈朗運動這類漲落現象，可獲得具體的結果。

　　導體中電子不斷地作無規則的熱運動，有外電場存在時，在平均電流的背景上，還有一部分漲落電流，它使電信號中產生噪聲。容易得到頻率為 ω、單位頻率間隔內電壓的均方漲落是

式中系數β為

， l是導體長度， R 是電路中的電阻， N是總電子數， e和 m是電子的電荷和質量。

　　上式表明：①熱漲落引起的電壓漲落對低頻區的貢獻同頻率無關，而同電阻、溫度成正比；②熱漲落引起的電壓漲落對高頻區的貢獻同電阻的三次方成正比，同頻率的二次方成反比。由於電阻本身也同溫度有關，所以噪聲對溫度的依賴性非常強，要減少噪聲，就得降低電路本身的溫度。

　　對於含有電阻R及電感L的電路（稱為R L電路），設漲落電動勢為

( t)，則也同樣可以得到 。 和 分別是頻率為 ω、單位頻率間隔內電動勢和電流的均方漲落。可見 是一與頻率無關的常數。

　　其他　從對佈朗運動的研究，可以引入時間相關函數，以研究系統的隨時間變化的物理量在時間上的關聯。佈朗運動理論在其他領域如原子核反應、中子散射、化學反應等過程的研究中都有重要應用。

　　

參考書目

　龔昌德編：《熱力學與統計物理學》，人民教育出版社，北京，1982。

　王竹溪著：《統計物理學導論》，高等教育出版社，北京，1956。

　Л.Д.朗道、Ε.М.栗弗席茲著，楊訓愷等譯:《統計物理學》，高等教育出版社，北京，1964。