本構方程

　　連續介質力學中描述特定物質性質的方程。它建立瞭特定連續介質的運動學量、動力學量、熱力學狀態之間的某些相互關係。本構關係隨所考慮的具體介質和運動條件而變。

　　品質、動量、能量守恆律對所有物質都適用，連續介質力學以各種微分方程，如連續方程、運動方程、平衡方程等為主要研究手段。通常，這些方程中的動力學量、運動學量（有時還包括熱力學量），都是未知函數，其數目多於體現上述守恆律的方程的個數。為瞭求解反映守恆律的方程組，添加瞭本構方程程，使自變量的數目同總的方程數目相等。所以，本構方程是解決連續介質力學問題中的質量、動量、（有時加上）能量守恒定律的必要補充。

　　客觀上存在的流體、固體多種多樣，運動的環境也千差萬別，為瞭對問題進行深入的研究，本構方程隻能反映介質性質的主要方面，否則使問題過於復雜，理不出頭緒。本構方程規定的介質是客觀物質的力學模型。本構方程必須反映介質和運動環境的主要特點，但又要求簡單，使所列出的方程便於進行數學計算。

　　常用的並且是最為成熟的用於連續介質力學的本構方程有下列三組：

　　① 無粘流體。(1)粘度為零，即η=η′=0，η和η′為粘度和第二粘度；(2)應力張量隻是壓力p；(3)密度均勻不變，ρ(x，y，z，t)＝常數，或是在密度顯著變化時采用常比熱完全氣體（見流體力學的能量方程）的模型：定容比熱容с_v＝常數，定壓比熱容 с_p＝常數，p＝ρRT，式中T為熱力學溫度，R為普適氣體常數。單位質量內能e＝с_vT，熵S－S₀＝с_vlnpρ^-γ，式中γ為с_p/с_v，S₀為某一約定狀態的熵值。

　　② 牛頓流體。(1)粘度η=η(T，p)，函數的具體形式隨流體和溫度范圍而變；(2)應力張量的一部分是壓力p，此外，還加上同粘性和變形率（見流體力學）有關的張量，其分量為

式中u_k(u₁，u₂，u₃)為流速U的三個分量。

， ；(3) ρ( x， y， z， t)=常數，或任何形式的具體狀態方程 f ₁( p， ρ， T)=0， f ₂( e， p， S)=0。

　　③ 完全彈性體（各向同性）。是固體力學中發展得最為成熟的部分，在直角坐標系中它的本構方程是應力張量的六個分量 σ_xx，σ_yy，σ_zz，σ_xy，σ_yz，σ_zx同應變張量的六個分量 e_xx，e_yy，e_zz，e_xy，e_yz，e_zx之間的線性關系，由胡克定律表述

式中E是楊氏模量，v是泊松比，同粘性流體相比，這裡既沒有熱力學量，也沒有對時間的導數。溫度升高會使金屬膨脹而產生應力，要考慮這個效應，就應補充σ_ij=β(T-T₀)，式中的常數β和線膨脹系數有關。

　　20世紀20年代開始構造塑性力學的本構方程，這遠比各向同性完全彈性體復雜，現在已經有很多成功的模型， 然而仍待做更多的研究。從50年代起對1300℃以上的空氣、動載荷下土壤（由土、空隙和水組成，又分軟土、硬土等）做瞭大量研究。對空氣做得很成功，對土壤（尤其是硬土）至今尚待完善。燃燒產物的本構方程，蒸氣和水、煤粉和空氣、煤塊和水等等兩相共存混合物的本構方程，不斷出現的新型材料的本構方程，都是近代很受重視的研究對象。

　　建立本構方程時既要有理論上的推理、論證，還要有實驗測定的若幹常數。在研究和使用本構方程的長期過程中，人們致力於劃清適用條件，闡明理論模型同實際的符合程度。

　　同一種物質，在不同的條件下又可以針對所考慮的那一類條件，列出適用於該類條件的本構方程。例如，討論水池中波浪，可以用密度ρ＝常數，η＝0，應力張量隻是壓力這一流體模型。但討論水中聲音傳播時則必須考慮密度的變化加上絕熱過程的條件。金屬在載荷小、變形小的條件下可以看作各向同性彈性體；金屬在載荷過大、變形過大條件下會呈現塑性以至斷裂，這時，胡克定律就不適用瞭。