置換群

　　由置換組成的群。n元集合

到它自身的一個一一映射，稱為 Ω上的一個置換或 n元置換。 Ω上的置換 σ可表為

或簡記為 ，其中 i ₁， i ₂，…， i _n是1，2，…， n的一個排列，α 是 α _k在置換 σ下的像。有時也把α 在 σ下的像記為α ^σ。根據映射的乘法可以定義 Ω上任意兩個置換 σ與τ的乘積 στ為 。對於這樣定義的運算， Ω上全體置換所組成的集合 S ^ω成一個群，稱為 Ω上的對稱群或 n元對稱群，簡稱對稱群，其階為 n!。對稱群的子群稱為 Ω上的置換群或簡稱置換群。當 Ω＝{1，2，…， n}時把 S ^ω記為 S _n。較置換群更為一般的概念，有所謂的作用。

　　作用　G是一個群，Ω是一個非空集合。G中每個元素g都對應Ω的一個映射：x→x^g，x∈Ω，若滿足：①

；② x ^e= x（ e是 G的單位元素），則稱 G作用於 Ω上。 G作用於 Ω上的充分必要條件是， G同態於 Ω上的一個置換群。

　　設G是Ω上的一個置換群，H是Γ上的一個置換群。如果存在Ω到Γ上的一個一一對應ρ，以及G到H上的一個一一對應φ，使得對Ω中任一個點α及G中任一個置換g都有

，那麼 G與 H稱為置換同構的。兩個置換同構的置換群一定是同構的。但是同構的置換群不一定是置換同構的。

　　如果Ω與Γ都是n元集合，那麼S^ω與Sг是置換同構的。因此，n元對稱群都與S_n置換同構。

　　設σ是Ω上一個置換，若Ω中一些點α₁，α₂，…，α_s使得

而 σ保持 Ω中其餘的點不動，那麼 σ稱為一個輪換，記作(α ₁，α ₂，…，α _s)。若兩個輪換沒有公共的變動點，則稱這兩個輪換是不相交的。每一個置換都可表為不相交輪換的乘積，稱為置換的輪換表示法，而且除表示式中輪換的次序以外，置換的輪換表示法是惟一的。

　　兩個點的輪換稱為對換。任一置換都可表為一些對換的乘積，表示法不是惟一的，但是表示式中對換個數的奇偶是惟一確定的。若σ可表成偶數個對換的乘積，則稱σ為偶置換。若σ可表成奇數個對換的乘積，則稱σ為奇置換。

　　S^ω中全部偶置換組成S^ω的一個正規子群，稱為n元交錯群，簡稱交錯群，記作A^ω。S_n的交錯子群記作A_n。n元交錯群都與A_n置換同構。當n≥2時，A_n的階為n!/2。當n≠4時，A_n是單群，這是一類很重要的有限單群。

　　置換群是有限群的一類重要例子，有限群的研究是從置換群開始的。置換群的重要性還在於下述事實。

　　凱萊定理　任一有限群都與其元素的一個置換群同構。

　　區及軌道　設G是Ω上一個置換群，Δ是Ω的一個子集，g是G中任一元素，用Δ^g表示Δ在g下的像集

。若對於 G中任一元素 g都有Δ ^g=Δ，或 ，則稱Δ是一個區。空集ø以及 Ω都是區，稱為平凡區。其餘的區稱為非平凡區。兩個區的交仍是區。

　　若對G中任一元素g，都有Δ^g=Δ，則稱 Δ是G的一個不變區。Ω及ø都是不變區。不變區的交仍是不變區。

　　設Δ是G的一個不變區，如果對Δ中任意兩個點α、β都有G中一個元素g使得α^g=β，那麼Δ稱為G的一個軌道（或傳遞集）。如果Δ是G的一個軌道，那麼，任取Δ中一個點α，都有

。而且， G的任一個軌道都可這樣得到。如果Δ及 Γ是 G的兩個軌道，那麼Δ=Г 或Δ∩Г＝ø。因此， Ω分成 G的一些兩兩不交的軌道之並。軌道中元素的個數稱為軌道的長度。

　　穩定子群　設G是一個n元置換群，作用於Ω上。取定Ω中一個點α，

是 G的一個子群，稱為 G對α 的穩定子群。如果 ，並設 (通常取恒等置換作為 g ₁)，那麼 。因此，| G|=｜ G _α｜｜α ^G｜，所以 G的軌道的長度一定能整除 G的階。

　　如果對任一α∈Ω，都有G_α={e}，則稱G是半正則群。此時，G的任一軌道長都等於｜G｜。

　　穩定子群的概念還可以推廣到多個點的情形。取定Ω中k個點α₁，α₂，…，α_k，則

是 G的一個子群，稱為 G對α ₁，α ₂，…，α _k的穩定子群。顯然有 。

　　傳遞性　設G是Ω上一個置換群。若對任意α，β∈Ω，都可找到g∈G，使得α^g=β，則稱G在Ω上是傳遞的；否則，稱G是非傳遞的。G是傳遞群當且僅當Ω是G的一個軌道。因此，若G是傳遞群，則｜Ω｜是｜G｜的一個因子。若G是傳遞群，且｜Ω｜=｜G｜，則稱G是一個正則群。正則群就是傳遞的半正則群。

　　若在一個非正則傳遞群G中，每個非單位元素最多保持一個文字不變，則G稱為弗羅貝尼烏斯群。在弗羅貝尼烏斯群G中，沒有不變文字的置換與恒等置換一起構成一個正則群R，R是G的一個特征子群。

　　若對於Ω中任意兩個k元有序點組α₁，α₂，…，α_k及β₁，β₂，…，β_k，都有G中一個置換g使

，則稱 G是一個 k重傳遞群或 k傳遞群。 k重傳遞群一定是( k-1)重傳遞的。如果 k≥2，那麼 k重傳遞群稱為多重傳遞群，否則稱為單傳遞群。如果 G是 Ω上一個傳遞群，那麼當且僅當 G _α在 Ω-{α}上( K-1)重傳遞群時， G是 k重傳遞的。 k重傳遞的 n元置換群 G的階可被 n( n-1)…( n- k+1)整除。若 G的階恰等於 n( n-1)…( n- k+1)，則稱 G是一個精確 k重傳遞群。此時，對於 Ω中任意兩個 k元點組α ₁，α ₂，…，α _k; β ₁， β ₂，…， β _k，在 G中恰有一個 g使α = β _i， i=1，2，…， k。

　　對稱群S_n是n重傳遞的，交錯群A_n是n-2重傳遞的。除去S_n及A_n外，有無窮多個3重傳遞群，但是隻知道4個4重傳遞群，它們是法國數學傢 É.L.馬蒂厄在1861年及1873年先後發現的次數分別為11，12，23及24的馬蒂厄群M₁₁，M₁₂，M₂₃，M₂₄，其中M₁₂及M₂₄是5重傳遞的，而且M₁₁是M₁₂的穩定子群，M₂₃是M₂₄的穩定子群，它們的階分別是

\ n

。

M ₁₁及 M ₁₂都是精確傳遞群。

　　在1981年有限單群分類的問題解決以後，所有雙重傳遞群已被決定，並且知道沒有傳遞重數大於或等於6的傳遞單群，而交錯群與上述4個馬蒂厄群是僅有的4重傳遞的單置換群。M₂₃的穩定子群是M₂₂，也是一個單群，這5 個馬蒂厄群是最早發現的不屬於有限單群的無窮系列的5個零散單群。

　　秩　設G是Ω上的一個傳遞置換群，α∈Ω，G對α的穩定子群G_α作為Ω上的置換群，其軌道（包括平凡軌道{α}）數稱為G的秩。顯然，當且僅當G的秩等於2時，G是雙傳遞的。秩為3的單傳遞群是一類很重要的單傳遞群，在26個零散單群中，有8個是作為秩是3的置換群構造出來的群。

　　本原性　設G是Ω上一個傳遞群，若G沒有非平凡區，則稱G是一個本原群，否則稱為非本原群。多重傳遞群一定是本原群，Ω上傳遞群G是本原群的充分必要條件為其穩定子群G_α(α∈Ω)是G的極大子群。如果Ω上一個置換群G是k重傳遞的，並且對k-1個點的穩定子群在其餘的點上是本原的，那麼G稱為k重本原的。

　　k重集傳遞性及半傳遞性　比k重傳遞性較弱的一個概念是k重集傳遞性。設G是Ω上一個置換群，若對於Ω的任意兩個k元子集Δ、Γ都可找到G中一個元素g使得Δ^g=Γ，則稱G是k重集傳遞的。傳遞性的另一個推廣是所謂半傳遞性，若G的軌道長都相等且大於1，則G稱為半傳遞的，或

重傳遞的。

　　置換群的一個古老而有意義的問題，是找出全部互不置換同構的置換群。至今，已找出次數小於或等於11的全部置換群。所謂置換群的次數，即這個置換群所有實際變動的點的個數。當12≤n≤15時找出瞭全部n次傳遞群。而當n較大時，僅對n≤50找出瞭全部n次本原群。

　　

參考書目

　H.Wielandt，Finite Permutation Groups，AcademicPress，New York，1964.

　D.Passman，Permutation Groups，Benjamin，New York，1968.

　B.Huppert and N.Blackburn，Finite Groups，Vol.3，Springer-Verlag，Berlin，1982.