無窮邏輯

　　將一階邏輯中的公式和推理的長度推廣至無窮長得到的。在它的公式中，可以出現無窮多個公式的合取式或析取式，也可以出現無窮多個量詞。由於一階邏輯的模型論應用到數學的其他分支時受到瞭一定的限制，因而產生瞭無窮邏輯的模型理論。在描述集合論中也使用這種邏輯。1963年前後，因C.卡普及D.S.斯科特等的工作而發展起來，在1969年前後，J.巴威斯及M.馬凱依等又在這個方向上作出瞭重要的貢獻。

　　如果α、β是兩個無窮基數((見集合論)，那麼無窮邏輯L_αβ的形式語言與一階邏輯的形式語言相似，即除瞭有α個變元，可以在基數小於α的公式集上構作合取式或析取式，以及允許在小於β個變元上加全稱量詞或存在量詞外，結構與一階邏輯相同。因此，L

就是通常的一階邏輯，另一簡單情形是 L 。它的公式中允許出現可數無窮個公式的合取式或析取式，但隻能出現有窮個量詞。例如，可用 L 的一個句子表示撓群的公理∀ x∨｛ n· x=0：0＜ n＜ω｝；又如，全體有窮模型的類的特征可以表示為 等。

　　因為無窮邏輯L

應用最廣泛，且對它的研究也最深入，因此以 L 為例，敘述無窮邏輯的一些主要結果。

　　可以用L

邏輯的一個句子刻畫可數模型的全部性質，也就是說，如果 L是一個隻有可數個符號的語言，M是 L的一個可數模型，那麼存在 L 中的一個句子 φ，使得對於 L的所有可數模型N，N≌M的必要且充分條件是N|= φ。此定理是斯科特於1965年證明的。

　　為保持L

邏輯的完備性，必須引進無窮長的推理規則，並且將形式證明的長度也推廣至無窮。

　　關於L

的公理和推理規則上加上諸如公理：∧ φ→ φ，對於每個公式 φ∈ φ；推理規則

式中 φ是 L 中公式的可數集合。容易看出，上述的公理及推理規則的長度可以是無窮的。無窮邏輯的形式證明的定義同一階邏輯。易知， L 的形式證明的長度必小於 ω ₁（即為可數無窮）。

　　有瞭上述概念，就可以陳述關於L

的完備性定理（卡普，1964）：一個 L 中的句子 φ是定理，當且僅當它是有效的。

　　假定L中僅有可數個符號，那麼在L

中經常遇到的困難是它的公式集是不可數的。而在應用中常常隻需考慮可數個公式就夠瞭。因此需要對 L 的句子集（也記為 L ）加以限制，建立起滿足一定性質的可數的公式子集的概念。如果用 A表示滿足一定性質的可數集合，則 稱為 L 上的一個斷片。

　　無窮邏輯L

失去瞭一階邏輯的兩個基本性質：緊致性定理及勒文海姆－斯科朗－塔爾斯基定理。為瞭在 L 的公式集的子集上建立緊致性，引進瞭可允許集的概念。當A為可允許集時， L _A就稱為可允許斷片，巴威斯在 L 的可允許斷片 L _A上建立瞭相應於通常一階邏輯的緊致性定理(1969)。

　　

參考書目

　J.Barwise，ed.，Hαndbook of Mαthemαticαl Logic，North-Holland，Amsterdam，1977.

　H.J.Keisler，Model Theory for Infinitαry Logic，North-Holland，Amsterdam，1971.