流函數-百科詞條

　　流體力學中同連續性方程相聯繫的一個標量函數，它在流體平面運動和軸對稱運動中有重要應用。不可壓縮流體和定常可壓縮流體的連續性方程可寫成：

▽·(ρ^ν

)=0，　　　　　　　(1)

式中

為速度矢量； ρ為流體密度； ν＝0和 ν＝1分別對應於不可壓縮流體和定常可壓縮流體情形。由方程(1)容易看到存在著矢勢 B，使下式成立：

ρ^ν

=▽× B，　　　　　　　　　(2)

式中 B稱為廣義流函數。在平面運動和軸對稱運動這兩種特殊情形下， B隻有一個非零分量，如果引進流函數將帶來以一個函數代替兩個速度分量函數的好處。在平面運動情形下，連續性方程在直角坐標系中可以寫成如下的形式：

，

式中 u、 v為速度矢量在 x、 y軸方向上的分量。由此推出存在流函數 Ψ，使得：

。

顯然，此時有 B＝(0，0， Ψ)， Ψ稱為平面運動的流函數。在軸對稱運動中，取柱坐標系( r， φ， z)和球坐標系( r， φ， θ)，連續性方程可分別寫為：

　　(3)

式中 v_r、 v_z和 v_r、 v _θ分別為速度矢量在柱坐標系 r、 z軸上和球坐標系 r、 θ軸上的分量。由式(3)推出存在著流函數 Ψ，使得：　

；　　　（柱坐標）

。（球坐標）

容易驗證，此時矢勢具有下列形式：

Ψ稱為軸對稱運動的流函數，也稱為斯托克斯流函數。

　　對於不可壓縮流體，流函數具有下列四個性質：①Ψ可加上任一常數而不影響對流體的運動的描述。②Ψ為常數的曲面是流面。③在Oxy平面上或θ＝π/2的平面上取一曲線弧AB，則通過以AB為底、高為單位的曲面(平面情形)或通過以AB為母線的旋轉曲面(軸對稱情形)的流量Q與流函數在A、B兩點上的值Ψ_A和Ψ_B之間存在如下關系：