承受垂直於軸線的橫向載荷的桿件。它是工程結構中重要的承力構件,如房梁、輪船的龍骨、飛機機翼的大樑和起重機的大樑。梁的種類繁多,按照軸線形狀,可分為直梁和曲梁;按照支持的形式,可分為懸臂梁、簡支梁、連續梁、彈性基礎梁等(圖1)。梁的支反力可由靜力平衡條件確定的,稱為靜定梁,(見靜定結構),如懸臂梁和簡支梁;不能由靜力平衡條件確定的,稱為靜不定梁(見靜不定結構),如連續梁和彈性基礎梁。
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在橫向載荷作用下,梁軸線的曲率會發生變化,直梁的軸線由直變曲,曲梁軸線的曲率增大或減小。這類變形稱為彎曲變形,變形後的軸線稱為撓曲線。
早在17世紀,伽利略就研究過梁的彎曲問題。在隨後的一百多年中,經E.馬略特、雅各佈第一.伯努利(見伯努利傢族)、A.帕倫、C.-A.de庫侖等科學傢的繼續研究,基本上形成以平截面假設為基礎的彎曲理論。這一近似理論滿足瞭工程上的要求並得到廣泛的應用。
彎曲形式 若梁的橫截面有一對稱軸,則梁有一縱向對稱面。梁的軸線即為縱向對稱面內的直線(直梁情形)或曲線(曲梁情形)。若作用於梁上的載荷都在這個縱向對稱面內,則撓曲線也是這一平面內的曲線,這類彎曲稱為平面彎曲,是工程中最常見的彎曲形式。若梁的橫截面無對稱軸,則梁也無縱向對稱面,但隻要載荷通過彎心連線,且平行於截面的形心主慣性軸(見截面的幾何性質),梁的變形仍為平面彎曲。在橫截面無對稱軸的情況下,如果載荷通過彎心但不平行於截面的形心主慣性軸,則梁在兩個形心主慣性平面內同時產生彎曲變形,變形後的撓曲線不再位於載荷作用的縱向平面內,這種彎曲稱為非對稱彎曲。若梁的橫截面雖有對稱軸,而載荷通過截面形心而不與對稱軸重合,梁也會在兩個形心主慣性平面內同時彎曲,變形後的撓曲線也不在載荷作用的縱向平面內,這種彎曲有時稱為斜彎曲。
剪力圖和彎矩圖 對橫向載荷作用下的梁(圖2a),
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彎曲正應力 每一梁截面上的彎矩都由截面上的彎曲正應力所平衡。由梁截面上的彎矩可進一步求出截面上正應力的分佈規律。根據平截面假設,梁內必然存在一個變形前後纖維長度不改變的中性層。它把梁分為兩部分,一部分受拉,另一部分受壓。中性層和橫截面的交線稱為中性軸(圖4)。
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式中E為材料的彈性模量;I為截面對中性軸的慣性矩。EI反映瞭梁抵抗彎曲變形的能力,稱為彎曲剛度。梁內任一纖維的受力和變形,與它到中性層的距離成正比,即橫截面上任意點的彎曲正應力與該點到中性軸的距離成正比,如圖5所示。圖中正應力用右側的箭頭表示。彎曲正應力的計算公式為:
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上述直梁彎曲理論,在純彎曲的情況下是精確的。如果把它應用於橫力彎曲,所得結果是近似的,但對比較細長的梁其精確度已可滿足工和要求。對軸線曲率半徑遠大於橫截面高度的曲梁,仍然可以使用式(2)。但如果軸線曲率半徑和橫截面高度的量級相同(如吊鉤),則正應力沿截面高度的變化規律為雙曲線(圖6),而不再象直梁那樣按直線規律分佈。
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彎曲剪應力 在橫力彎曲下,梁截面上除瞭有與彎矩對應的正應力外,還有與剪力對應的彎曲剪應力。剪應力的分佈與梁的幾何形狀有關,它在變截面梁和等截面梁中的分佈也有很大差異。用材料力學的方法,可以計算截面呈某些特殊形狀的桿件的剪應力。例如,在狹長矩形截面梁中,剪應力沿截面的高度按拋物線規律分佈(圖7)。圖中左邊的箭頭表示剪應力的方向,右邊的陰影表示剪力的大小。在中性軸上,剪應力最大(τ嚝),而在橫截面上下邊緣,剪應力等於零。
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在梁的彎曲問題中,彎曲正應力是主要的,彎曲剪應力是次要的,有時可忽略。但對於一些特殊情況的梁,如跨度較短的梁、薄腹板梁、夾層梁等,剪應力不可忽略。
彎曲變形 在如圖8所示的坐標系中,以v表示直梁平面彎曲撓曲線上一點的縱坐標,則撓曲線的方程式可以寫作:
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以上的討論,都假設材料是線彈性的,服從胡克定律。若應力超出彈性范圍,材料中就會出現塑性變形。在這種情況下,平截面假設仍然有效,但應力-應變關系不再是線性的,且在加載和卸載過程中遵循不同的規律。在考慮塑性變形的基礎上研究梁的彈塑性彎曲問題,會得出一些不同的結果(見塑性力學)。