連續介質波動理論

　　研究波在連續介質中傳播的一般理論和計算方法。按照理性力學的觀點，波可定義為任意一個張量場

＝ ( x， t)隨時間 t在空間的傳播，其中 x是質點的空間位置。它具有雙重涵義：一是指需要研究 奇異面 σ( t)在空間的傳播與 的間斷量（又稱跳變量）之間的相互關系，以便弄清波動的局部性質；二是指需要研究在 σ( t)兩側 σ的空間分佈隨時間的變化，以便弄清波動的總體性質。60年代以前，幾乎沒人研究過有限變形條件下非線性介質中的波動理論。理性力學的發展，使人們對物質的 本構關系有瞭比較深入和系統的認識，而運用在此同時發展起來的一種嚴格的分析方法也有利於研究在各種介質中，尤其是在熱彈性介質和減退記憶介質中波的形成、發展、相互轉化和相互作用的規律，從而把古典 彈性力學和 流體力學研究波動問題的方法向前推進一步。於是波動理論就成為理性力學的一個重要分支。這個方法的理論基礎就是奇異面理論，即利用奇異面上的相容性條件、波陣面兩側的守恒方程和具體物質的本構關系進行嚴格數學運算，從而得出波的傳播特性。

　　奇異面σ(t)和張量值函數

及其各階導數的間斷之間的相容性關系包括幾何學相容性條件、運動學相容性條件和動力學相容性條件，即：

　　①幾何相容性條件　系指

對空間坐標導數的間斷【д /д x_i】、 沿 σ( t)法向導數的間斷和 σ（ t）幾何性質相互連系的普遍關系式，這裡不涉及曲面的運動特性。【 】表示括號內的量在 σ( t) 的“＋”側和“－”側兩值之差。J.阿達瑪於1903年給出一個著名的引理，即“對奇異面 σ( t)，若д /д x_i存在間斷，即【д /д x_i】≠0，但 本身連續，則間斷矢量【д /д x_i】必和 σ( t)的法矢量 n平行”。這一引理常被稱為阿達瑪引理。後來，隨著理性力學的發展，T.Y.托馬斯、C.特魯斯德爾等人給出瞭更加一般的幾何相容性條件，其中並不要求 沿 σ( t)保持連續。在得到一階導數間斷的相容性條件的基礎上，通過迭代法可求得關於 的高階導數間斷的相容性條件。在研究固體在有限變形下的波動問題時，常常采用物質坐標，因此需要給出在該坐標系下的相容性條件。

　　②運動學相容性條件　表示間斷【

】沿 σ( t)的變化率、 σ( t)在空間的法向運動速度 u_n和間斷【д /д t】之間的相互關系。若引用 δ──時間導數的概念，則運動學相容性條件可表示為：

　　　δ【

】/ δt=【д /д t】+ u_n【 n_iд /д x_i】

　　③動力學相容性條件　表示跨越σ(t)時，物體的運動必須遵循質量守恒定律、動量和動量矩平衡定律、能量守恒定律以及熵不等式。

　　由於這些相容性條件並不涉及物質本構方程的具體形式，因而它們對所有物質都是普遍適用的。正因為如此，奇異面上的相容性條件才成為研究各種介質中波動特性的有力工具。

　　奇異面σ(t)按其對φ的間斷性質可分成兩大類：一類是強間斷，即【

】≠0；另一類是弱間斷，即

沿 σ( t)連續，但它的空間或時間導數存在間斷。 激波是關於運動(把 視為變形介質的運動)的一階奇異面；而加速度波則是關於運動的二階奇異面。

　　目前，對非線性介質中激波問題的研究采用兩種分析方法：一是解析方法，包括簡單波理論、特征理論、半逆法和無窮級數法，用這些方法可以獲得少數問題的精確解；二是構成各類物質關於激波幅度隨波傳播時的增、衰方程，討論激波傳播的局部性質。用這種方法證明在高分子聚合物、有機玻璃一類粘彈性物質中有兩種因素控制著波的傳播：非線性彈性性質使波幅增加，而粘性則使波幅衰減，在某種組合條件下，能形成穩定的激波。這一點已為平板撞擊試驗所證實。關於加速度波問題的研究在非線性介質波動理論中占有重要地位。這是因為非線性介質中的加速度波具有根本不同於線性介質中的若幹特性。加速度波的幅值矢量a

和波的局部傳播速度 U滿足下列關系式：

，

式中 ρ ₀為參考狀態中介質的密度； δ _ij為克羅內克符號； Q _ij為一個二階對稱張量，稱為聲張量。上式稱為傳播條件。它表明，加速度波的幅值矢量 a是聲張量 Q _ij的特征矢量，而 ρ ₀ U ²是相應的特征值。另外，不論介質的本構方程采取何種形式，其幅值大小а=(а ₁ ²+а ₂ ²+а ₃ ²) 滿足伯努利型方程：

δа/δt＝-μ(t)а+β(t)а²，

式中，系數 μ( t）由材料的性質、波陣面上的狀態和形狀決定，而系數 β( t)隻和介質的瞬態彈性反應有關。當波陣面處於均勻變形狀態時，系數 μ和 β為常數。加速度波的這個性質十分重要，它預示在介質中存在一個臨界的加速度波的初始幅值а 。當а ₀＞а 時，波幅隨波的傳播而增加，因而經過有限時間，加速度波可以發展成激波；當а ₀＜а 時，波幅是衰減的；當а ₀=а 時，加速度波在傳播過程中保持穩定。這一點和線性介質顯然不同，並已為實驗所證實。

　　近二十年來，不少學者利用理性力學的奇異面理論開展瞭各種不同介質中激波和加速度波傳播性質的系統研究，其中包括彈性固體、熱彈性固體、非線性粘彈性體、剛塑性體、電磁介質、化學反應介質、微極彈性介質、復合材料等方面，都獲得瞭很大的進展。但這種方法隻能定性地討論無限域中非線性波動傳播的局部性質，除少數簡單情況可以得到解析解外，要瞭解波動的總體性質仍需借助數值計算。

　　

參考書目

　C.Truesdell and R.Toupin，The Classical Field Theories，Handbuch der Physik，Bd.Ⅲ/1，Springer-Verlag，Berlin，Göttingen，Heidelberg，1960.

　C.Truesdell and W.Noll，The Non-linear FieldTheoriesof Mechanics，Handbuch der Physik，Bd.Ⅲ/3，Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg，New York，1965.

　A.C.Eringen and E.S.Suhubi，Elastodynamics，Vol.1，Academic Press，New York，1974.