複變函數論中有關函數值的模的一個重要而有用的定理，斷言解析函數的模在區域內部不能達到極大值，除非它是常數函數。這一原理可具體表述如下：設f(z)為有界域G內全純並在
上連續的函數，以
這個定理能由解析函數所實現的映射的拓撲性質得到直接的說明，即非常數的解析函數將開集映為開集；同樣也能由分析的觀點來證明，即根據柯西積分公式，函數f(z)在域G內任一閉圓盤|z-z0|≤r的圓心之值等於它在圓周上積分值的算術平均數。由此可知非常數的全純函數其模不能在G內取得最大值。這一原理在函數論中有著很廣泛的應用，以這個定理為根據的證明都非常簡明。
阿達馬三圓定理 由最大模原理可以導出，非常數整函數f(z)在圓|z|=r上的最大模M(r，f)是r的增函數。J.（-S.）阿達馬於1896年更進一步證明最大模的對數是lnr的凸下增函數，這一結果被稱為阿達馬三圓定理。它可表述如下：設f(z)在圓環r1≤｜z｜≤r2上全純，以M(rk，f)表示f(z)在|z|=rk(k=1，2，3)上的最大模，則對r1≤r3≤r2有
或者改寫為
。
上式還說明
f(
z)在圓環內任一同心圓上的最大模能由它在圓環內、外圓周上的最大模來控制。
波萊爾－卡拉西奧多裡定理 關於全純函數的最大模和其實部的最大值之間關系的一個定理。它首先由(F.-É.-J.-) É.波萊爾得到，後由C.卡拉西奧多裡改進。如所知，一解析函數實質上由其實部所確定。由施瓦茲公式立即可以得到M(r，f)的估計，它由其實部在較大的同心圓上的最大模和│f(0)│所給出。應用最大模原理可以簡捷地得到更精確的結果。
設f(z)在|z|≤R上全純，以A(R)表其實部在|z|=R上之最大值，則有
。
值得註意的是上式
A(
R)不是
f(
z)的實部在│
z│=
R上的最大模，這點在一些應用中（如整函數的研究中）有著重要的意義。
菲拉格芒－林德勒夫定理 最大模原理的重要推廣。它由菲拉格芒、E.L.林德勒夫1908年得到，可敘述如下：設G是由原點出發的兩條半直線之問的角域，其張角為απ(0＜α≤2)，又設f(z)在G內及其邊界直線上全純，若在此兩直線上有|f(z)|≤M，且G在內滿足
，式中
，則當│
z│→∞時，在
G內恒有
。
這個定理說明在角域內全純的函數，如果它在角域內滿足某個與角域張角有關的增長性條件，則它在G內的模能由其邊界直線上的最大模來控制。這個定理有許多其他的形式和進一步的研究，並且在整函數的漸近值，解析數論和狄利克雷級數論的研究中有重要的應用。
施瓦茲引理 復變函數幾何理論中具有深遠影響的基本定理，它首先由H.A.施瓦茲所發現。下面敘述的形式和它的經典證明是1912年由卡拉西奧多裡所給出的。
設f(z)在單位圓D內全純，且│f(z)│＜1，若f(0)=0，則|f(z)|≤|z|和│f′(0)│≤1。第一個關系式當z=0時等號成立。除此之外，此兩個關系式當且僅當f(z)＝eiαz（α是實數）時等號成立。
這個引理的簡單幾何意義是，如w=f(z)映z＝0為w＝0，且單位圓D的像f(D)含於w平面的單位圓內，則任一閉圓Dr：│z│≤r之像f(Dr)含於w平面的閉圓│w│≤r內，且隻當f(z)=eiαz時，映射是將原圓繞原點旋轉。
應用施瓦茲引理立即得到單位圓到自身的一一的共形映射是麥比烏斯變換
，
式中|
z
0|＜1，α為一實數。1916年，G.皮克註意到施瓦茲引理可以有一個在上述麥比烏斯變換下不變的形式，它可放棄
f(0)=0的條件。
設在D內考慮雙曲度量，其線元素為
，並定義可求長曲線у的雙曲長度為
，
D內兩點的雙曲距離ρ(
z
1，
z
2)是
D內連結此兩點的曲線的雙曲長度的下確界，可測集
E的雙曲測度為
。
顯然上述諸量在麥比烏斯變換下是不變的。皮克的不變形式的施瓦茲引理敘述如下：映單位圓入自身的解析映射使得兩點間的雙曲距離，曲線的雙曲長度和集合的雙曲測度縮小，僅當映射是上述麥比烏斯變換時，這些量保持不變。
施瓦茲引理還有更為精致和反映曲率性質的一般形式，並在多復變函數論中得到相應的結果。
參考書目
L.V.Ahlfors，ConforMal Invariants Topics in Geometric Function Theory，McGraw-Hill，New York，1973.
E.C.Titchmarsh，The Theory of Functions，OxfordUniv.Press，London，1939.