流形

　　一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立瞭坐標系，使得任何兩個(局部) 坐標系間的座標變換都是連續的。這裏所說在一點鄰近建立坐標系就是：存在這個點的一個鄰域U和一個同胚映射φ：U→V，其中V是某個歐氏空間R^<n中的開集。這樣的φ可看成U上n個函數，它們就給出U中點的坐標。在上面流形的定義中，若坐標變換皆是連續可微的，則進一步稱空間為微分流形。流形的概念最早是由B.黎曼在1854年提出的。

　　下面是流形的例子。S²是通常三維歐氏空間中的單位球面，易見S²是連通、豪斯多夫、仿緊的拓撲空間。對S²上任意一點p，做過p點的切平面π_p，在π_p中建立笛卡兒坐標系。再從S²的球心做射線，當射線與S²和Π_p同時相交時，記交點分別為q、悧。這時令S²中q點的坐標就是悧的笛卡兒坐標，這樣就在p點鄰近建立瞭局部坐標系。不難驗證，用上述辦法建立S²中各點鄰近的局部坐標系，其坐標變換皆是可微的，從而S²是微分流形。仿照這裡討論可知實數集、初等曲線、圓周、環面、歐氏空間都是流形。

　　流形最重要的特性是：有局部坐標系。這個特性並不奇特，以至流形能廣泛地出現在物理、幾何問題之中。同時這個特性又使人們可系統地運用坐標方法，從而導致富有成效的研究。因此流形成為數學中一個重要概念是不會令人驚訝的。

　　有瞭局部坐標，可以確定微分流形之間的可微映射概念，那是指一個映射f∶M→N，其中M和N是微分流形，使得當f用局部坐標表示時，它是坐標的連續可微函數組。如果f有逆映射f^-1，並且f^-1也是連續可微的，則稱f是微分同胚。有一個特別的情形值得註意，當N是實數集時，稱上述可微的f為M上的可微函數。不難在M上的可微函數的集合中引進函數加法、乘法運算，於是可微函數集合就成瞭一個函數環。利用這個函數環可以派生出微分流形上的下列諸概念：切向量場(函數環的導算子)，李括號運算以及它們的對偶陳述（外微分式，外微分算子），此外還有定積分概念。借助於這些基本概念，就可以開展微分流形上的各種研究瞭。

　　對流形的研究還有一套組合方法，（J.-）H.龐加萊對這種方法的出現起瞭決定性作用。那是預先假定流形“剖分”成一些單形之和，使各單形之間是規則相處的。在這裡單形是指：0維單形是一個點，1維單形是一條線段，2維單形是三角形，n維單形是具有n+1個頂點的廣義三角形。從“剖分”出發，創造出鏈群和邊緣算子概念，再用有限的代數算法導出同調群，進而開展研究（見同調論）。

　　關於流形的重要結果有：斯托克斯公式，示性類，德·拉姆同構，對偶定理。

　　考慮上面對流形研究的前提，自然要問，一個流形是否可以變成微分流形，是否可以剖分？也就是說，一個流形有沒有微分結構、剖分（組合）結構的問題。當考慮一個流形上給定瞭兩個微分結構，這便得到兩個微分流形M₁，M₂。如果存在一個微分同胚f：M₁→M₂，則稱這兩個微分結構是相同的。於是進一步又問：一個流形上的微分結構有多少個？類似地，組合結構又有多少個？對流形的深入研究集中在：流形上的微分結構，組合結構的存在性，惟一性問題，另外還研究這兩種結構的關系，流形的各種意義下分類等問題。對流形的研究已做出許多令人振奮的結果，但也留下許多未解決的難題。

　　上述的流形是有限維無邊的，類似地有有限維帶邊流形的概念。此外，在許多數學場合中出現無限維流形，不過對無限維流形的研究遠不及有限維情形。