又稱殘數，複變函數論中一個重要的概念。解析函數f(z)在孤立奇點z=α處的洛朗展開式(見洛朗級數)

中，( z－ α>) -1項的系數с -1稱為 f( z)在 z= α處的留數，記作 或Res f( α)。它等於

，式中Г是以 α為中心的充分小的圓周。

　　留數的概念最早由 A.-L.柯西於1825年提出。由於對函數的洛朗展開式進行積分時隻留下一項(z-α)-1，因此稱為留數。它在很多問題上都有重要應用，如定積分計算，函數零點與極點個數的計算，將亞純函數展開為部分分式，將整函數展開為無窮乘積，穩定性理論，漸近估計等。

　　設函數f(z)以z=α為n級極點，則

當 n=1時，就有

特別地，當 式中 φ( z)和 ψ( z)都在 z= α處解析， ψ( z)以 z= α為一級零點， φ( α)≠0，則

　　留數定理　設函數f(z)在區域G內除瞭孤立奇點外解析，у是G內不經過f(z)的孤立奇點的閉若爾當可求長曲線，則

式中｛ α k｝(1≤ k≤ N)是у內的全部孤立奇點。

　　設函數f(z)以z=∞為孤立奇點，則它在z=∞處洛朗展開式中

項的系數с -1加上負號-с -1，稱為 f( z)在 z=∞處的留數，記作 或Res f(∞)，它等於

式中Г -是中心在原點、半徑充分大的圓周，且沿順時針方向繞行。

　　由留數定理可以證明，函數f(z)在擴充平面上若隻有孤立奇點，則所有留數（包括在z=∞處的留數）之和為零。

　　應用留數定理可以計算一些定積分，如

　　輻角原理　設函數f(z)在單連通區域G內是亞純函數，γ是G內不經過f(z)的零點與極點的若爾當可求長閉曲線，則

，

式中Δ γarg f( z)表示當 z在γ上按逆時針方向繞行一周時，函數 f( z)的輻角改變量， N與 P分別表示在у內的零點個數及極點個數且計入其重點的個數。

　　特別地，當函數f(z)在G內解析，就可以求得γ內零點個數N。由此可知，若n次多項式Pn(z)在虛軸上沒有根，則其全部根都在左半平面的充要條件是

式中 l R是右半平面上以原點為中心，半徑為 R按逆時針方向繞行的半個圓周。這個結果在研究常系數線性微分方程的解的穩定性時有用。應用輻角原理可以知道，解析函數必將區域變為區域，區域內單葉解析函數的導數處處不為零，且其反函數仍是單葉解析函數，還可研究解析函數序列的零點個數與其極限函數零點個數之間的關系等等。

　　魯歇定理　設函數f(z)與g(z)在單連通區域G內解析，γ是G內若爾當閉曲線，若在γ上|f(z)|>|g(z)|，則函數f(z)+g(z)與f(z)在γ內的零點個數相同。這個定理在計算某個函數在γ內有幾個零點時很有用。