行列式-百科詞條

　　重要的數學概念和工具之一。它來源於求解線性方程組。由n²個元素（數）α_ij(i，j=1，2，…，n)排成n行n列並寫成

(1)

的形式，它表示所有符合以下條件的項的代數和：

　　① 每項是n個元素的乘積，這n個元素是從(1)中每行取一個元素、每列取一個元素組成的，可記為

，

式中 p ₁， p ₂，…， p _n是1，2，…， n的一個排列。

　　② 每項

應帶正號或負號，以1，2，…， n的順序為標準來比較排列( p ₁ p ₂… p _n)的逆序數是偶或奇而決定。例如三階行列式中的項 α ₁₂ α ₂₃ α ₃₁排列(231)有2個逆序，即2在1之前；3在1之前，所以 α ₁₂ α ₂₃ α ₃₁應帶正號；而 α ₁₂ α ₂₁ α ₃₃中(213)的逆序為1，因為這時隻有2在1之前，所以應帶負號。

　　(1)稱為n階行列式，有時簡記為｜α_ij｜，其中α_ij稱為第i行第j列上的元素或元；當i=j時即α_ii，稱為主對角線(α₁₁α₂₂…α_nn)上的元。

　　因為n個元的所有排列共有n！個，所以｜α_ij｜共有n！個項。由此可知，

式中

是對1，2，…， n的所有排列取和，±符號按上述規則確定。例如，

　　行列式有多種定義方式，實質上不同的大致有三類：除上述的完全展開式定義外，常見的還有歸納定義和公理化定義等。

　　行列式的基本性質　任一行列式都有以下性質：①行列式A中某行(或列)用同一數k乘，其結果等於kA。②行列式A等於其轉置行列式A^T(A^T的第i行為A的第i列)。③若n階行列式|α_ij|中某行(或列)

則｜ α _ij｜是兩個行列式的和，這兩個行列式的第 i行(或列)，一個是 b ₁， b ₂，…， b _n；另一個是с ₁，с ₂，…，с _n；其餘各行（或列）上的元與｜α _ij｜的完全一樣。④ 行列式 A中兩行（或列）互換，其結果等於- A。⑤把行列式 A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是 A。

　　行列式的計算　簡單的行列式根據定義或基本性質容易計算。一般方法是把它按行（或列）展開化為低階行列式來計算。如n階行列式A按第i行（或列）展開：

式中

是從| α _ij|中劃去第 i行和第 j列後得到的行列式即 n-1階子式，稱為 α _ij的餘子式； A _ij稱為 α _ij的代數餘子式。在上式中把 A _it(或 A _ti)換成 A _jt(或 A _tj)， i≠ j，即第 i行(或列)中各元與第 j行（或列）中各元的代數餘子式相乘，其結果為零。以上結果可綜合寫成：

式中δ是克羅內克符號。δ 表示當 i= j時，δ _ij=1， i≠ j時，δ _ij＝0。

　　上面是按某一行(或列)展開，還可以按某幾行（或列）展開。在n階行列式A中取定某k(1≤k≤n)個行（或列），則在這k個行(或列)中的所有k階子式分別與它的代數餘子式的乘積的和為A。這就是拉普拉斯展開式。它由A.-L.柯西於1812年首先證明。

　　k階子式的代數餘子式是上述1階子式α_ij的代數餘子式A_ij的推廣。設N是從n階行列式A中劃去(n-k)個行和(n-k)個列得到的k階子式，M是從A中劃去N所在的行和所在的列得到的（n-k）階子式，則M稱為N的餘子式。如果N所在的行是i₁，i₂，…，i_k，所在的列分別是j₁，j₂，…，j_k，那麼