可以看作是拓撲乘積的推廣。纖維叢概念產生於微分幾何的研究。纖維叢的系統研究始於20世紀30年代，它不僅在拓撲學和微分幾何學中佔有重要地位，也被廣泛應用於其他數學和物理學分支。

　　纖維叢概念　假設空間E是空間X和Y的拓撲乘積。設p:E=X×Y→X為向第一個乘積因子的投影映射，則對於任意x∈X，p−1(x)均同胚於Y。因此E可看作被分解為一族“纖維”{p−1(x)}的聯合體。這些“纖維”相互聯合的方式是按照已知的乘積拓撲實現的。纖維叢概念是將這種考慮作如下推廣。設E,B,F是拓撲空間，p:E→B是連續映射。若對於任意x∈B,p−1(x)均同胚於F，則說E被纖維化為一個以F為纖維型的叢。一般說來，E不是B與F的拓撲乘積。但假設“局部地”是拓撲乘積，即設B中每一點x均有包含x的一個開集Vi，和一個把p−1(Vi)同胚地映成Vi×F的映射φi，使得對每個x∈Vi,φi把p−1(x)映為x×F，E是這些{p−1(Vi)}的並集，因此E可看作是由這些拓撲乘積{Vi×F}拼粘起來的。當Vi∩Vj≠Q時，Vi×F和Vj×F的拼粘方式如下：對每對(x,yi)∈Vi×F，(x,yj)∈Vj×F,x∈Vi∩Vj，如果

φ i −1( x, y i)= φ j −1( x, y j) 即( x, y i)= φ i φ −1 j( x, y j)，就將( x, yi)和( x, yj)粘起來， φi· φj −1是把 x× F映為 x× F的拓撲變換，所以它決定 F的一個拓撲變換 g ij( x)。這裡 gij( x)· yj= yi，因此 Vi× F和 Vj×F的拼粘就可以看作是借助於一個連續映射 gij: V i∩ V j→ G 來作的，其中 G是 F的一個拓撲變換群，這些 gij稱為 轉移函數。因而就說有瞭一個纖維叢( E, p, B, F, G)，這裡 E稱為 全空間， B為 底空間， F為 纖維型， p為 投影， G為 構造群。

　　默比烏斯帶是最簡單的非拓撲乘積的纖維叢。它由一條矩形長帶將其一對邊中之一扭轉180°後與另一邊粘合而得。也可看作將一直線段中點放在一個圓周上沿此圓周移動一周的同時，使該線段翻轉180°而成。這是一個纖維叢，其全空間E為默比烏斯帶，底空間B為圓周，纖維型F為線段，構造群G為F的一個至少包含關於中點的反射在內的拓撲變換群，p:E→B則是將每根直母線映為與B之交點的映射。

默比烏斯帶

　　切叢　另一類重要的纖維叢。設M是一個實n維微分流形，Tx(M)為M在點x處的切空間，將所有{Tx(M)}用自然方式並起來，得一個2n維微分流形T(M)，設P:T(M)→M為將Tx(M)映成x，則得纖維叢(T(M),p,M,Rn,GL(n,R))，稱為M的切叢。類似地，還可定義M上的各型張量叢。

　　截面　連續映射s:B→E稱為一個截面，如果s把每個點x∈B映入p−1(x)中。微分流形的切叢的截面是流形上的一個向量場，張量叢上的截面是一個張量場。截面的存在與否是一個重要問題。乘積叢恒有截面，然而由於一般的叢有扭曲，截面不一定存在。例如二維球面的單位切向量所構成的叢沒有截面，即球面上切向量場必有奇點。

　　示性類　纖維叢的截面的存在性問題與阻礙理論有關。由此而得到底空間的某些上同調類，稱為示性類，示性類可利用從底空間到分類空間的分類映射將萬有叢的示性類（所謂萬有示性類）拉回而得到。

　　示性類中重要者有斯蒂菲爾–惠特尼示性類、陳示性類和龐特裡亞金示性類。

　　吳文俊在示性類理論中有許多重要研究，他發現斯蒂菲爾–惠特尼示性類的斯廷羅德平方運算的表示公式以及微分流形的斯蒂菲爾–惠特尼示性類用吳類表示的公式。

　　應用　纖維叢理論在微分幾何學、代數幾何學、復變函數與復流形理論以及大范圍分析學等方面有深刻的應用。一般說來，纖維叢是應用代數拓撲學的理論和方法於其他數學領域的一個橋梁。近年來還發現，在物理學中纖維叢是表達規范場的合適的數學語言。