刻畫幾何圖形拓撲性質的一種數。通俗地說，它是確定整個圖形中點的位置所需要的座標（或參數）的個數。直線上的點由一個座標確定，故直線的維數為1。平面上的點由兩個座標確定，故平面的維數為2。同理，日常所指的空間，其維數為3。當整個圖形為一個點時，點的維數假設為0。在19世紀前，幾何學僅從事三維或低於三維圖形的研究。19世紀以來，更高維空間的概念開始被接受。例如，日常的三維空間中點的座標是(x,y,
嚴格地講，上面關於維數的定義是含混而帶描述性的。1890年，G.皮亞諾令人吃驚地構造瞭一條能填滿正方形的“曲線”（見拓撲學）。若按上面的說法，正方形的維數就會是1，這是不合情理的。20世紀初，隨著處理抽象空間的拓撲學的發展，維數的嚴格定義顯得更必要瞭。1912年，H.龐加萊指出，若在曲線上標出一點，曲線通常就被分離成兩段，螞蟻從其中一段出發爬行，不接觸該點就無法進入另一段。因為曲線由點（0維）分離，故曲線的維數大於0而為1。曲面就不能由點分成這樣兩塊，但可以用曲線分離，從而曲面的維數應高於曲線的維數。此外，立方體不能被點或曲線分離，但可以用曲面分離，故立方體的維數為3。基於這種歸納的想法，20世紀初L.E.J.佈勞威爾以及稍後的E.切赫給出瞭維數的嚴格定義，即大歸納維數。K.門傑及P.S.烏雷松把上述思想局部化以後，得到另一種維數定義，稱為小歸納維數。H.L.勒貝格發現，可以用充分小的矩形把正方形覆蓋起來，使得每一點至多屬於三個小矩形，且至少有三個要相交。n維空間的方體也有類似的特性，不過這時每一點至多屬於n+1個小方體。這個事實就導致E.切赫定義瞭第三種維數，即覆蓋維數（又稱勒貝格維數）。P.S.亞歷山德羅夫定義瞭第四種維數，即同調維數。
推薦書目
HUREWICZ W, WALLMAN H. Dimension Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1948.