莫爾圓

　　在應力（或應變）座標圖上表示受力（或變形）物體內一點中各截面上應力（或應變）分量之間關係的圓。表示應力的稱為應力莫爾圓；表示應變的稱為應變莫爾圓。

　　以平面應力為例說明二維應力莫爾圓的性質：受力物體內某一截面上的正應力σ和剪應力τ都是該截面法線與最大主應力σ₁夾角θ的函數，可以分別用公式表示為

式中σ₁和σ₂為兩個主應力。這兩個關系式也可以用莫爾圓上N點的坐標值（見圖）來表示，N點與σ₁夾圓心角為2θ。當（σ₁和σ₂為已知時，用公式法或莫爾圓法都可獲得通過該點的任一截面上的正應力和剪應力值。莫爾圓法的操作是：取σ為橫坐標，τ為縱坐標，在橫坐標上分別取量值為σ₁和σ₂的兩點，取兩點間的中點為圓心作圓，則此圓的圓心坐標為

，圓半徑值為 。如果欲知道法線與 σ ₁夾角為 θ的截面上的正應力和剪應力，可從 σ ₁開始，量得圓心角為 2 θ而獲得N點，則N點的橫坐標恰好為該截面上的正應力值，N點的縱坐標恰好為該截面的剪應力值。N點的橫坐標值等於圓心的橫坐標值加上半徑值與 cos2 θ之積，即 ，與公式的結果一樣；N點的縱坐標值等於半徑值與 sin2 θ之積，即 ，與公式的結果也一樣。改變 θ角就可以獲得任意截面上的正應力與剪應力值。當 2 θ=90°或270°時，其最大的縱坐標值即 ，它表示法線與最大主應力分別夾45°和135°的截面上剪應力最大，但兩者有相反的符號。當 2 θ=0或者180°，恰好是 σ ₁和 σ ₂兩點，這兩點的縱坐標值為零，表示主應力作用面上沒有剪應力，而且 σ ₁與 σ ₂之間夾角 θ=90°，即彼此永遠垂直。

　　莫爾圓法方便而且直觀，是變形分析的良好工具，從而在地質研究中得到廣泛的應用。與此同時應變莫爾圓也為應變分析提供瞭方便。三維莫爾圓可以分析物體內三維空間任意截面上的應力或者應變關系。應變莫爾圓以及三維應力（或應變）莫爾圓都是以二維應力莫爾圓為基礎建立的，它們與二維應力莫爾圓的分析方法類似。

　　

參考書目

W.D.米恩斯著，丁中一等譯：《應力和應變》，科學出版社，北京，1982。（W.D.Means，Stress and Strain，Springer-Verlag，New York，1976..