隨機振動

　　指那些無法用確定性函數來描述，但又有一定統計規律的振動。例如，車輛行進中的顛簸，陣風作用下結構的回應，噴氣雜訊引起的艙壁顫動以及海上鑽井平臺發生的振動，等等。

　　振動可分為定則（確定性）振動和隨機振動兩大類。它們的本質差別在於：隨機振動一般指的不是單個現象，而是大量現象的集合。這些現象似乎是雜亂的，但從總體上看仍有一定的統計規律。因此，隨機振動雖然不能用確定性函數描述，卻能用統計特性來描述。在定則振動問題中可以考察系統的輸輸出和輸入之間的確定關系；而在隨機振動問題中就隻能確定輸出和輸入之間的統計特性關系。

　　機械系統中隨機振動的研究始於20世紀50年代，當時主要出於航空科學的需要。後來這一理論在土木建築工程、交通運輸工程和海洋工程等方面也得到瞭廣泛應用。60年代以來，振動測試技術和計算技術飛速發展，為解決復雜的振動問題提供瞭強有力的手段。

　　研究方法　隨機振動通常要用概率論的方法描述。概率反映隨機事件出現可能性的大小。將隨機事件的結果用數量描述，就得出隨機變量的概念，因為它描述隨機變量的發展過程，故又稱隨機過程，而隨機振動隻是隨機過程的一類實例。

　　假設在一定條件下重復某個隨機試驗（如汽車道路試驗），得到系統響應(如司機座的鉛垂加速度)的一系列時變歷程記錄（見圖）。

其中每個記錄 x_n( t)， n=1，2，…，都可看作一個樣本，而大量樣本構成一個集合，記為 X( t)，用它代表這一隨機過程。

　　對於隨機現象，人們感興趣的往往不是各個樣本本身，而是從這些樣本總體得出的統計特性。例如，以隨機函數X在瞬時t取值不大於x的概率，可定義一維概率分佈函數：

　　　　　　　　F(x，t)=P[X(t)≤x]，

並由此導出一維概率密度函數：

。

類似地，可定義多維概率分佈與密度函數。從隨機函數的概率密度函數又可確定各種數字特征；例如，各次矩可以定義如下：

記號 E{　}表示集合平均。可以看出，一次矩即隨機函數的平均值 μ_x；二次矩即均方值 ψ ；而二次中心矩

稱為方差，它的平方根 σ_x常稱為標準差。平均值反映過程的總傾向；均方值往往與平均能量相聯系；方差則可用來表征隨機變量的分散程度。

　　平均特性可區分為集合平均和時間平均。前者是對集合求平均，後者是對單個樣本來求的。根據統計特性是否隨采樣時間原點的選取而變化，隨機過程可分為非平穩過程和平穩過程。根據集合平均特性是否等同於時間平均特性，隨機過程又可分為遍歷的和非遍歷的。遍歷的隨機過程一定是平穩的；反之則不一定。

　　在各種平均特性中，最重要的是相關函數和功率譜密度。一個隨機振動又可以看作大量數目的具有隨機振幅與相位的諧和振動之和。它的總功率就等於各個諧和分量的功率之和。人們感興趣的是找出這種功率如何按頻率分佈。平穩隨機函數X的自相關函數R_x(τ)定義為乘積x(t)x(t+τ)的集合平均值。它是時延τ的函數，反映相隔τ的兩個時刻的隨機變量之間的線性相關程度，同時它還蘊藏著隨機過程中各個諧和分量的頻率和平均功率的信息。因此，從自相關函數的諧和變換S_x(f)可得到功率譜密度（簡稱自譜）的概念，它恰好描述隨機過程的平均功率按頻率的分佈規律。按定義有：

，

由逆諧和變換，得：

，

當 τ＝0時，

。

由此可見， S_x( f)正是 X關於頻率 f的均方譜密度。

　　實用上，常用功率譜的形狀作為隨機過程的標志，例如在隨機振動試驗中，各種基準譜都是按譜形來規定的。人們按譜形將偏於兩個極端的情況分別稱為窄帶過程和寬帶過程。窄帶過程是指它的功率譜具有尖峰特性，並隻有在尖峰附近的一個窄帶內才取有意義的量級。典型的例子是隨機信號通過窄帶濾波器後所得的結果。相反地，寬帶過程的功率譜在相當寬（帶寬至少與其中心頻率有相同的數量級）的頻帶上取有意義的量級。最極端的情形是白噪聲，它的譜密度是均勻的並有無限的帶寬。白噪聲隻是一種數學抽象，因為在無限的帶寬上都有有限的功率意味著有無限的總功率。不過，當隨機激勵的頻帶足夠寬，以致將系統所有的固有頻率覆蓋無遺時，把該激勵視為白噪聲是可取的，這樣做數學上便於處理。

　　自相關和自譜是從同一個隨機過程得到的統計特性，類似地可以定義兩個不同隨機過程X和Y之間的互相關函數R_xy(τ)與互譜S_xy(f)。從互譜還可定義相幹函數：

。

互譜和相幹函數在實驗確定系統頻率特性以及確定振源和振動傳遞路徑方面有獨特的作用。

　　隨機過程中的一類特別重要的過程，稱為正態過程，亦稱高斯過程。平穩正態過程的一維概率密度函數可表示為：

。

正態過程有以下特點：許多自然現象可以用正態過程近似地描述；正態過程的線性變換仍然是正態過程；隻需知道正態過程的一次矩與二次矩，就可確定概率密度。這些特點給隨機振動研究帶來很大方便。首先，隨機振動的許多激振源（如大氣湍流、海浪、路面等）都可以看作正態過程。其次，從第二點可知，對於常系數線性系統，當輸入是正態過程，輸出也一定是正態過程。另外，當系統的輸入和輸出都是正態過程，隻要確定它們的平均值和方差，就可確定它們的全部統計特性。

　　研究內容　主要有以下兩方面：

　　①　激勵-響應關系　前已提及，隨機振動問題中的激勵-響應關系隻能描述為它們的統計特性之間的關系。常系數線性系統在平穩隨機激勵X作用下，產生平穩隨機響應Y。這時，關於平均值有如下關系：

μ_y=H(0)μ_x。

關於功率譜，有如下關系：

　　　　　　（1）

　　　　　　（2）

式中H(f)是系統的頻率特性。上述關系式既簡單又實用，這正是功率譜法的優點所在。式（1）隻用到系統的幅頻特性，適用於已知系統特性，從輸入（或輸出）求輸出(或輸入)。式（2）適用於從實驗確定頻率的特性。功率譜雖然隻提供瞭隨機過程的頻域描述，但知道功率譜後，就不難求出相關函數與均方值。如果輸入是平均值為零的正態過程，則輸出也一樣。這時，輸出的均方值也就完全確定瞭輸出的統計特性。

　　②　可靠性　在系統可靠性分析中用到的隨機響應統計特性還有越界概率和峰值分佈。越界概率是指隨機響應穿越某個界限水平次數的概率，峰值分佈是指響應超越某個水平的峰數（或谷數）的概率。計算這些概率還需知道隨機響應過程及其導數的聯合概率分佈。

　　

參考書目

　紐蘭著，方同等譯：《隨機振動與譜分析概論》，機械工業出版社，北京，1980。（D.E.Newland，AnIntroduction to Random Vibrations &SpectralAnalysis，Longman，London，1975.）