光的衍射

　　光波遇到障礙物以後會或多或少地偏離幾何光學傳播定律的現象。幾何光學表明，光在均勻媒質中按直線定律傳播，光在兩種媒質的分介面按反射定律和折射定律傳播。但是，光是一種電磁波，當一束光通過有孔的屏障以後，其強度可以波及到按直線傳播定律所劃定的幾何陰影區內，也使得幾何照明區內出現某些暗斑或暗紋。總之，衍射效應使得障礙物後空間的光強分佈既區別於幾何光學給出的光強分佈，又區別於光波自由傳播時的光強分佈，衍射光強有瞭一種重新分佈。衍射使得一切幾何影界失去瞭明銳的邊緣。意意大利物理學傢和天文學傢F.M.格裡馬爾迪在17世紀首先精確地描述瞭光的衍射現象，150年以後，法國物理學傢A.-J.菲涅耳於19世紀最早闡明瞭這一現象。

　　光的衍射現象的觀察和特點　衍射是一切波所共有的傳播行為。日常生活中聲波的衍射、水波的衍射、廣播段無線電波的衍射是隨時隨地發生的，易為人覺察。但是，光的衍射現象卻不易為人們所覺察，這是因為可見光的波長很短，以及普通光源是非相幹的面光源。當用一束強光照明小孔、圓屏、狹縫、細絲、刀口、直邊等障礙物時，在足夠遠的屏幕上會出現一幅幅不同的衍射圖樣。在實驗室中，過去用碳弧燈這類強點光源，而目前廣泛采用氦氖激光器作光源來顯示衍射現象，收到瞭良好的效果（圖1）。衍射現象具有兩個鮮明的特點：①光束在衍射屏上的某一方位受到限制，則遠處屏幕上的衍射強度就沿該方向擴展開來。②若光孔線度越小，光束受限制得越厲害，則衍射范圍越加彌漫。理論上表明光孔橫向線度 ρ與衍射發散角Δθ之間存在反比關系

　　 ρΔθ≈λ。

當光孔線度遠遠大於光波長λ時，衍射效應很不明顯，近似於直線傳播。當光孔線度逐漸變小，衍射效應逐漸明 顯，在遠處便出現亮暗分佈的衍射圖樣。當光孔線度小到可以同光波長相比擬時，衍射效應極為明顯，衍射范圍彌漫整個視場，過渡為散射情形。

圖1　各種光孔的遠場衍射圖樣的照片 a垂直單狹縫 b更窄的單狹縫 c矩孔 d三角孔 e方孔 f正多邊形(光圈) g正方網格

　　惠更斯－菲涅耳原理　是處理光的衍射的近似理論，惠更斯－菲涅耳原理可以表述為：波陣面 ∑上的每個面元d∑，可看成為一個新的振源（次波源），它們發出次波；波場中任意處P點的擾動是所有次波到達該點的次級擾動的相幹疊加（圖2）。

　　如用復振幅（包括振幅和位相）描述波場，若一個次波到達場點的次級擾動為dũ(P)， 則場點的總擾動為

式中次級擾動的振幅和位相由以下諸因素決定：

──次波源的微分面積，

　　

──次波源本身的復振幅，

　　

──次波源發射球面波，

　　

──傾斜因子，說明次波面源的發射具有一定的方向性。

　　寫成等式是：

　　

　　60餘年後，G.R.基爾霍夫從定態波場的亥姆霍茲方程出發，利用矢量場論中的格林公式，在kr

1近似條件下，導出瞭無源空間邊值定解的積分形式為

式中各量的意義參見圖3，並指明凡是隔離實際點光源與場點的任意閉合面∑都可以作為積分面（波陣面），它不一定是等相面。上式稱為菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，它與由樸素的物理思想所構造的衍射積分相比較，兩者的主體部分是相同的，隻是前者明確地給出瞭傾斜因子和比例系數的具體形式。

　　顯然，惠更斯-菲涅耳原理的提出不是為瞭解決光的自由傳播問題，而是為瞭求解光通過衍射屏以後的衍射場。為此，取波陣面為包括光孔面∑_o、光屏面∑₁和無窮遠處的半球面∑₂等三部分構成的閉合面。基爾霍夫進一步提出（圖4）：∑₀面上的光場ũ₀(Q)取自由波場，∑₁面上的光場取0，無窮遠面上的光場對場點的貢獻為0，這稱為基爾霍夫邊界條件的假設。於是菲涅耳－基爾霍夫衍射公式中的積分區域就限於光孔面。基爾霍夫邊界條件的假設看來是比較自然的，但它並不嚴格成立。光是電磁波，嚴格的衍射理論應是高頻電磁場的矢量波理論。光屏是實物組成的，應考慮光與屏物質(導體或電介質)的相互作用，結果就擾動瞭光孔面上的原有光場，而且也不會使得光屏面上的光場斷然為0。但是理論表明，嚴格的邊界條件與基爾霍夫邊界條件給出的場分佈的顯著差異，僅局限於光屏或光孔邊緣鄰近區域波長量級的范圍內。對於光波，由於其波長往往比光孔的線度小很多，故采用基爾霍夫邊界條件所產生的誤差不大。但是，對於無線電波的衍射就需要用較嚴格的電磁理論。於是，菲涅耳-基爾霍夫衍射積分式中的積分面隻遍及光場不等於零的光孔面∑₀。在光孔和接收范圍滿足旁軸條件下，傾斜因子

，衍射積分簡化為

式中r₀是衍射屏中心到場點的距離，上式是計算衍射場的一個實用公式。

　　衍射系統和衍射屏函數　從衍射積分（傍軸）式中可以看出，對各種衍射屏來說積分核

是相同的， 衍射場的不同分佈是由瞳函數ũ ₀( Q)或光場不等於零的光孔面 ∑ ₀的形狀和大小等兩方面的差別而引起的。可能導致光波衍射的障礙物（屏）的品種是多種多樣的，凡是使波陣面上的復振幅分佈發生改變的物，統稱為衍射屏。衍射屏可以是反射物或透射物，諸如圓孔、矩孔、單縫等一類中間開孔型的，有小球、細絲、墨點、顆粒等一類中間阻擋型的，有反射閃耀光柵、透射黑白光柵、菲涅耳 波帶片、正弦型光柵等周期型的，也可以是景物的一幅底片、一張圖像、一頁數碼字符等復雜型的，還可能是透鏡棱鏡等一類位相型的衍射屏。

　　以衍射屏為界，整個衍射系統分成前後兩部分（圖5）。前場為照明空間，充滿照明光波；後場為衍射空間，充滿衍射光波。照明光波的波型一般比較簡單，常用球面波或平面波，這兩種典型波的等相面與等幅面是重合的，屬於均勻波，其波場中沒有因光強起伏而出現的亮暗圖樣。衍射波比較復雜，它不是單純的一束球面波或平面波，其等相面與等幅面一般不重合，屬於非均勻波，其波場中常有光強起伏形成的衍射圖樣。在衍射系統分析中註重三個場分佈。一是衍射屏左側的入射場ũ₁(x，y)，它是入射光波陣面函數；二是衍射屏右側的透射場ũ₂(x，y)，當然也可以是反射場，它是衍射場波陣面函數；三是衍射波向前傳播而到達接收屏幕上的光場函數 ũ(x′，y′)。將ũ₁場變換為ũ₂場的是衍射屏的作用，由 ũ₂場導出ũ場是衍射問題的基本提法，也是光的傳播問題的基本提法，其理論根據就是惠更斯-菲涅耳原理。由此可見，本質上說，光波衍射就是波陣面變換。

　　表征衍射屏特征的是其屏函數。屏函數定義為

對透射屏，壇也稱為復振幅透過率函數。對反射屏，壇也稱為復振幅反射率函數。屏函數通常為復函數（相幅型）。若屏函數中僅有幅角是(x，y)的函數，就稱其為位相型衍射屏；若屏函數中僅有模是(x，y)的函數，就稱其為振幅型衍射屏。

　　衍射分類　在無成像的衍射系統中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之間距離的遠近而將衍射分為兩類（圖6），一類是菲涅耳衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠，或其中之一是有限遠的情形；另一類是夫瑯和費衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠的情形。粗略地說，菲涅耳衍射是近場衍射，夫瑯和費衍射是遠場衍射。不過應當註意，在成像衍射系統中，像面的衍射場在一定條件下也是夫瑯和費衍射場，此時無論像面（接收屏位置）或光源位置，它們與衍射屏的距離都可以是很近的。當然，夫瑯和費衍射是菲涅耳衍射的一個特例，其衍射積分計算較為簡單，實驗上也不難實現，應用價值又很大，故它一直是衍射問題的研究重點。尤其是現代光學中傅裡葉光學的興起，賦予夫瑯和費衍射以新的重要意義。

　　衍射應用　光的衍射決定光學儀器的分辨本領。氣體或液體中的大量懸浮粒子對光的散射，衍射也起重要的作用。在現代光學乃至現代物理學和科學技術中，光的衍射得到瞭越來越廣泛的應用。衍射應用大致可以概括為以下四個方面：

　　① 衍射用於光譜分析。如衍射光柵光譜儀。

　　② 衍射用於結構分析。衍射圖樣對精細結構有一種相當敏感的“放大”作用，故而利用圖樣分析結構，如X射線結構學。

　　③ 衍射成像。在相幹光成像系統中，引進兩次衍射成像概念，由此發展成為空間濾波技術和光學信息處理。光瞳衍射導出成像儀器的分辨本領。

　　④ 衍射再現波陣面。這是全息術原理中的重要一步。