電磁規律的協變形式-百科詞條

　　狹義相對論指出，對於一切慣性參照系，物理規律都是相同的，而且不同慣性系之間的變換關係是洛倫茲變換。因此，所有描述基本物理規律的方程式，都應該在洛倫茲變換下保持不變。這種不變性就稱為洛倫茲不變性。

　　為瞭顯示一個或一組物理方程的洛倫茲不變性，通常將它表示成這樣的形式，使得方程中各項在洛倫茲變換下都具有確定的，並且彼此相同的變換性質。這樣，當從一個慣性參照系變換到另一個慣性參照系時，就能得到相同的方程式。具有上述形式的方程就稱稱為協變形式的方程。

　　電磁量的洛倫茲變換　洛倫茲變換是一個四維變換，因此在洛倫茲變換下的矢量常稱為四維矢量或簡記作4-矢量。例如三維空間的坐標(x¹，x²，x³)配上時刻t就合成一個4－矢量(x⁰，x¹，x²，x³)，其中x⁰=сt，с為真空中光速。此矢量稱為四維時空坐標x^μ(μ＝0，1，2，3)。在電磁量（本條采用高斯單位制）中，通常的三維電流密度（j¹，j²，j³）同電荷密度 ρ 配成一個四維矢量(j⁰，j¹，j²，j³)，其中j⁰=ρс。這個矢量就稱為四維電流密度 j^μ。洛倫茲規范下的電磁矢量勢(A¹，A²，A³)和標量勢φ也配成一個 4-矢量(A⁰，A¹，A²，A³)，其中A⁰=φ，稱為四維電磁勢A^μ。當兩個慣性參照系s和s′的空間坐標軸取得彼此平行而且s′沿x軸方向以速度v相對s運動時（並取t=t′=0為兩參照系坐標原點相重合的時刻）兩者時空坐標間的變換關系為：

(1)

此即時空坐標的洛倫茲變換。根據矢量的變換性質，s和s′中電流密度和電磁勢也具有類似的變換關系：

(2)

由此可以得出，如果在s參照系中有一靜止的均勻導體回路，其內j¹

0而 ρ＝0，則在 s′參照系中將觀測到 ρ′

0（見圖）。如從 s′參照系觀測，圖中AB段就將帶負電，而CD段將帶正電。上述電荷的出現可用洛倫茲收縮來說明。與此相應，在 s參照系中 φ＝0，隻有 A；而在 s′參照系中 φ ′和 A′都將不為零。

　　在洛倫茲變換下，電場強度E和磁感應強度B合起來按一個二階張量來變換，此張量用矩陣表示為：

它的分量記作F^μv（μ、v從0到3），並稱為電磁場場強張量。在上述兩個慣性參照系s和s′中的場強值，有如下的關系：

E^'1=E¹， B^'1=B¹，

(3)

當略去

的小項時，上式可寫作

。 (4)

v代表在s系中所觀測的s′系的速度。這樣，若在s系中隻有電場或隻有磁場，則在s′系中將同時有電場和磁場存在。以上結果表明瞭電場同磁場之間深刻的內在聯系，實際上它們是統一的電磁場場強張量的不同分量。

　　電磁場的能量密度u和能流密度(S¹，S²，S³)以及動量密度(g¹，g²，g³)和動量流密度ϕ^ij(i，j取1到3)合起成一個二階張量

此張量稱為電磁場的能量-動量張量，並用T^μv表示。

　　電磁規律的協變形式　麥克斯韋方程組中的兩個方程

， (5)

可以合起來用

(6)

表示，其中

v=0代表式(5)的第一式，v=1，2，3代表式(5)的第二式。

代表張量 F ^μυ的四維散度，它是一個四維矢量。這樣式(6)左右兩方都是四維矢量，符合協變要求。

　　麥克斯韋方程組中的另外兩個方程

(7)

可以合起來用

(8)

表示。註意

，前者代表

這是因為洛淪茲變換不是正交變換，故對於矢量和張量還必須區別為逆變和共變兩類。前面所說的x^μ、j^μ、A^μ和這裡的微分算符

都是逆變矢量，而微分算符

則為共變矢量。式 (8)中每一項都代表一個三階的逆變張量，故該式是協變的。

　　這裡，

對於指標( μ， v， σ)為完全反對稱的，故式(8)實際上隻包含四個獨立的方程，它們的( μ， v， σ)可取為(1，2，3)，(2，3，0)，(3，0，1)和(0，1，2)。當( μ， v， σ)取(1，2，3)時，式(8)相應於 ∇· B＝0，而當( μ， v， σ)取(2，3，0)，(3，0，1)和(0，1，2)時，式(8)相應於