邊界層

　　指粘性小的流體對固體表面作相對運動時，靠近固體表面、沿垂直固體表面的方向的流速和溫度變化很大、變形率大、粘性起顯著作用的很薄的一層流體。但雷諾數要相當大，邊界層才薄。計算流線型物體表面所受的粘性應力，目前主要靠已有80年歷史的邊界層理論。

　　邊界層理論的主要思路和內容，可以從飛機機翼剖面（圖1）附近的流速分佈這一實例來說明。坐標系固定在機翼剖面上，機翼遠前方的流速為U，，

時，沿機翼剖面表面上B點作一條法線 ，從A點到C點這一段流速一直是增加的，用無粘流體 位勢流理論可以計算出邊界層以外流速和壓力的分佈。C點的流速最大，從C點到翼剖面上的B點流速逐漸降低。在B點流速降為零。這是由於粘性作用使位於 B點的流體附著在機翼的表面上，而 這一小段距離就是B點處的邊界層。選取機翼前緣H到B點的弧長 x為特征長度組成 雷諾數， ，在B點層流邊界層厚度 。例如， U＝100米／秒， x=0.05米，空氣的運動粘度 v取為1.5× 10 ^-5米 ²／秒，則 R e _x≈3.33× 10 ⁵，這時B點處層流邊界層厚度還不到半毫米。可見，在高雷諾數時，邊界層很薄。由於機翼總是在雷諾數（以弦長 l為特征長度）超過百萬的情況下使用，所以機翼的前部邊界層是層流，略往下遊（圖中往右）就發生雷諾數超過臨界值並出現層流到湍流的過渡，再往下遊就是湍流邊界層。湍流邊界層比層流邊界層厚。

　　邊界層方程　L.普朗特1904年的奠基性工作是利用瞭在高雷諾數的情況下邊界層很薄這一特點，簡化瞭納維－斯托克斯方程(簡稱N-S方程)後得到的。

　　用密度為常數的二維定常流動，可以說明此理論的主要內容。把正交曲線坐標系的x 軸取得同沿物體表面的流線相重合，在這個坐標系中，流體在x方向的分速度U遠大於 y方向的分速度v。因為邊界層厚度遠小於物體表面的曲率半徑，所以普朗特首先忽略物體表面曲率的效應，最早研究的是平板上的層流邊界層。U在y方向的變化比v在x方向的變化大得多，所以，在N-S方程組的第一個方程中，同粘度η有關的兩項中可以隻考慮

，而略去 。又因為 v的數值比 U要小得多，N－S方程組的第二個方程就可以簡化成壓力在邊界層內不隨 y變， 即 或 p= p( x)，而 p( x)又可由無粘流體位勢流理論得出的邊界層外緣的流速，以ῡ( x)表示，即可由 伯努利方程得出

再沿x 方向求導，就可算出運動方程中的

項，

計算位勢流時，如果邊界層很薄，就可以忽略它的厚度。位勢流給出的物體表面速度ῡ(x)，實質上就是指邊界層外沿如圖1中的C點的流速。這樣，N-S方程簡化成邊界層方程

(1)

未知函數有U、v，為瞭使未知函數和微分方程數目相等，還要配上連續方程。它在上述前提下是

(2)

用方程(1)和(2)，可求解層流定常邊界層內的 U(x，y)、v(x，y)。

　　式(1)比N-S方程簡單多瞭，但左端的加速度仍是非線性項，要認真加以處理。當物體（機翼）形狀給定時，v_τ(x)的表達式也並不簡單。普朗特等人對此做瞭妥善處理，即：可以詳細計算邊界層內粘性所引起的各種效應，既可求邊界層厚度，也可求物體表面粘性應力。如果雷諾數Re＞10⁵時，用N-S方程求粘性應力，直到1984年還是重要而困難的題目。用邊界層方程求解這個問題卻較省力，而且在應用上也是可行的，隻是邊界層頭部和邊界層分離點（如圖2的S點）附近的局部流動用邊界層理論來計算仍嫌不夠好。

　　邊界層分離　邊界層理論的前提是它很薄，流線同物體表面的曲線走向很接近。若邊界層發生分離，在分離點附近和它的下遊，失去瞭薄的特點，應用邊界層理論就不夠完整瞭。分離是指沿著物體表面的一條流線到一定位置時就離開物體，如圖2中的 S點。S點叫分離點。分離又稱脫體。曲線 SP叫分離線。按邊界層理論分離發生在

的區域，在分離點 從而切應力 τ＝0。分離的出現就伴隨著較寬的尾流（圖2），尾流中產生許多渦旋。在沒有發生分離時，粘性效應隻涉及到物體附近很薄的邊界層以內。一旦發生較大尾流，在整個流場中的相當廣闊部分（如物體周圍包括物體前部）的壓力分佈受到瞭尾流的影響。實驗表明對於圓柱繞流 R e＞40就會有分離，尾流較寬，粘性在尾流中起重要作用。對於雷諾數不夠大、邊界層不夠薄的情形，隻有靠考慮粘性的方程組(而不是歐拉方程組)才能確定分離點的位置。邊界層分離和湍流邊界層的理論計算都是困難而有待深入研究的重要課題，遇到這種情形，實驗是取得定量結果的主要手段。

　　

參考書目

　L. 普朗特等著，郭永懷、陸士嘉譯：《流體力學概論》，科學出版社，北京，1981。(L. Prandtl et al.，Führer Durch Die Strömungslehre， Friedr Viewegund Sohn， Braunschweig，1969.)