數學是中國古代科學中一門重要的學科，它的歷史悠久，成就輝煌。根據它本身發展的特點，可以分為五個時期：①中國古代數學的萌芽；②中國古代數學體系的形成；③中國古代數學的發展；④中國古代數學的繁榮；⑤中西方數學的融合。
中國古代數學的萌芽 原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有瞭進一步的發展，仰紹文化時期出土的陶器，上面已刻有｜，
，
，
等表示1，2，3，4的符號。《易·繫辭》中說：“上古結繩而治，後世聖人易之以書契。”這就是說，到原始公社末期，人們已開始用文字符號取代結繩記事瞭。西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形(見彩圖)。為瞭畫圓作方，確定平直，人們還創造瞭規、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載。夏禹治水時已使用瞭這些工具。
《周髀算經》中關於用矩之法的記載
商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天幹和十二個地支組成甲子、乙醜、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期。在周代，又把以前用陰(--)、陽(-)符號構成的八卦表示8種事物發展為六十四卦，表示64種事物。公元前1世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為“六藝”之一的數已經開始成為專門的課程。
春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用。籌算記數法已使用十進位值制。約公元前4世紀的《墨經》描述這種記數法時說：“一少於二而多於五。說在建位。”這就是說，一在個位少於二，在十位就多於五，每個數字的大小除由它本身所表示的數值決定外，還要看它在整個數中所處的位置。根據後來約公元4世紀的《孫子算經》的記載，任何數都是由九個縱排數字｜
和九個橫排數字－＝
按個、百、萬等用縱籌，十、千等用橫籌來表示，零用空位表示。這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有瞭廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。在《考工記》中，已分別用矩、勾、倨、宣、、柯、磬析表示直角、銳角、鈍角、45°、67°30′、101°15′、151°52.5′（或135°），還有用規(圓周)的部分(圓弧)來表示刀和弓的大小，例如“合六而成規”，“合九而成規”，“合七而成規”等等。戰國時期的百傢爭鳴也促進瞭數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名傢認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規不可以為圓”，把“大一”（無窮大）定義為“至大無外”，“小一”（無窮小）定義為“至小無內”，還提出“輪不輾地”、“南方無窮而有窮”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。而墨傢則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨傢給出一些數學定義。例如，圓：一中同長也（從中心到周界有相同長度）；方：柱隅四殻也（四邊四角皆正）；平：同高也（高度相等）；直：參也（三點相齊）；次（相切）：無間而不相櫻也（既無大小又不相合）；端(點)：體之無厚而最前者也(部分中沒有大小並處於最前緣者)，等等。墨傢提出“環俱抵”（圓環轉動時每一點都與地面接觸而形成一根直線）來反駁名傢的“輪不輾地”，次的定義顯然來源於此。他們認為，在區域的前緣連一根線也容納不下（域不容尺）稱為“有窮”；不論區域多大，在其前緣總能容下一線之寬(莫不容尺)，稱為“無窮”。因此在墨傢看來，一個具體的空間不能既是“有窮”，又是“無窮”的。墨傢也不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點（非半弗則不動，說在端）。名傢的命題論述瞭有限長度可分割成一個無窮序列，墨傢的命題則指出瞭這種無限分割的變化和結果。名傢和墨傢的數學定義和數學命題的討論對中國古代數學理論的發展是很有意義的。
中國古代數學體系的形成 秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科以及《九章算術》為代表的數學著作的出現。《漢書·藝文志》載有《許商算術》2卷和《杜忠算術》16卷，但均已失傳。1983年12月在湖北江陵張傢山出土一本西漢初年的《算數書》，收有許多應用的數學問題。現有傳本的著作是公元前1世紀的《周髀算經》和公元1世紀的《九章算術》(見彩圖)。《周髀算經》是一部講述蓋天學說的天文著作，書中有較復雜的開方、分數運算和勾股定理的應用等數學問題。
《九章算術》卷首（宋刻本） 中國現存古代最重要的數學專著
上海圖書館藏
《九章算術》（宋刻本） 關於劉徽割圓術的記載
上海圖書館藏
《九章算術》（宋刻本） 關於劉徽陽馬術的記載
上海圖書館藏
《九章算術》（宋刻本） 關於古代比例分配問題——今有術的記載
上海圖書館藏
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算，今有術(西方稱三率法)，開平方與開立方（包括二次方程數值解法），盈不足術（西方稱雙設法），各種面積和體積公式，線性方程組解法，正負數運算的加減法則，勾股形解法（特別是勾股定理和求勾股數的方法）等，水平都是很高的，其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成瞭一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。
《九章算術》有幾個顯著的特點：①采用按類分章的數學問題集的形式；②算式都是從籌算記數法發展起來的，這些算式表示法緊密地依賴於數字在圖式上的位置；③以算術、代數為主，幾何也是偏重於量的計算，很少涉及圖形的性質；④重視應用，缺乏理論闡述。這些特點同當時社會條件與學術思想有關。秦漢時期，一切科學技術要求密切為當時確立和鞏固封建制度以及發展社會生產服務。秦始皇為瞭推行中央集權制，重用荀派儒學和法傢刑名之學，甚至不惜采取焚書坑儒的措施。漢武帝以後，為瞭鞏固封建政權，接受董仲舒“罷黜百傢，獨尊儒術”的意見，把經董仲舒改造的儒傢思想作為統治階級的思想。西漢末年著名學者劉歆曾經談到對數學的看法，他說：“夫推歷、生律、制器、規圓、矩方、權重、衡平、準繩、嘉量、探賾索隱，鉤深致遠，莫不用焉。度長短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，權輕重者不失黍絫。”劉歆這種強調數學應用的看法是具有代表性的。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除瞭戰國時期在百傢爭鳴中出現的名傢和墨傢重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。
《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國傢當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進瞭世界數學的發展。
中國古代數學的發展 魏、晉數學的發展 魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，各抒己見，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能善於運用邏輯思維，分析義理。這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽註《周髀算經》，漢末魏初徐嶽撰《九章算術》註2卷（已失傳），魏末晉初劉徽撰《九章算術》註10卷(263)、《九章重差圖》1卷（已失傳）都是出現在這個時期，趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定瞭理論基礎。
趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學傢之一。他在《周髀算經》書中補充的“勾股圓方圖及註”和“日高圖及註”是十分重要的數學文獻。在“勾股圓方圖及註”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的5個公式；在“日高圖及註”中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中占有重要地位。
趙爽《勾股圓方圖》註
劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展瞭戰國時期名傢和墨傢的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行"析理"，才能使數學著作簡明嚴密，利於讀者。他的《九章算術》註不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發展。例如，劉徽從率（後稱為比）的定義出發論述瞭分數運算和今有術的道理，並推廣今有術得到合比定理，他根據率、線性方程組和正負數的定義闡明方程組解法中消元的道理，指出方程式個數少於未知數個數時，方程組的解隻能是一個比值；在一個方程式中，正與負可以同時變號；減法消元和加法消元可以統一為一種方法。劉徽指出，在開方求得整數後，還可以繼續開方，“求其微數”。這不僅解決瞭求無理根的問題，而且提出瞭十進小數的方法。他創造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，並首次用理論的方法算得圓周率
和
。他提出用無窮分割的方法證明直角方錐與直角四面體的體積之比恒為2：1，解決瞭一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽實際上應用瞭下列公理：等高的兩立體，若其任意同高處的水平截面積成比例，則這兩立體體積亦成同樣的比例；並根據這個公理，指出球的體積與其外切“牟合方蓋”(兩個等半徑的圓柱正交的共同部分，（見彩圖)的體積之比為π：4，為徹底解決球的體積提出瞭正確的途徑。
牟合方蓋
李蔭國制作
《九章算術·開方》章中關於“求微數”的記載
劉徽在數學理論上取得如此重大的成就，除和他那個時代重視理論探討的學術風氣有關外，作為個人，有兩點是十分重要的。第一，反對今文經學中的陰陽奇偶學說。在《九章算術·少廣》章開立圓術註中，劉徽批評張衡在推導球的體積時，為瞭附會陰陽奇偶的學說而不顧疏密是一種弊病。第二，反對古文經學的繁瑣和守舊思想。在《九章算術·方田》章圓田術註和《九章算術·方程》章末題註中他批評當時學者的"踵古"思想和“膠柱調瑟”不知變通的思想，認為數學如“皰丁之理”，應該講求技巧，見簡即用。
南北朝數學的發展 東晉以後，中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。在北方，由於當時社會的需要，在《九章算術》的基礎上，數學仍在繼續發展。《孫子算經》、《夏侯陽算經》（已失傳）、《張丘建算經》就是這個時期的著作。從留傳下來的《孫子算經》與《張丘建算經》來看，它們仍依《九章算術》的體例，甚至有些題目也是為瞭解釋《九章算術》的算法。也有一些難題和解法超出《九章算術》的范圍，並對後來數學的發展有著相當的影響，例如一次同餘式組解法，等差級數求和、求公差、求項數的方法和不定方程解法等。
祖沖之父子的工作則是經濟文化南移以後南方數學發展的具有代表性的工作，他們在《九章算術》劉徽註的基礎上，把傳統數學大大向前推進瞭一步。根據史書的記載，祖沖之曾經註解《九章算術》，並與他的兒子祖暅共撰《綴術》六卷。這些著作均已失傳。在《隋書·律歷志》與李淳風《九章算術》註等零星記載中，他們的數學工作主要有下列幾項。
① 圓周率 據推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到3.1415926＜π＜3.1415927。他又創造瞭新的方法，得到圓周率兩個分數值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久。
② 祖暅公理和球體積 祖暅總結瞭劉徽的有關工作，提出“冪勢既同則積不容異”即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積必相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應用這個公理，解決瞭劉徽尚未解決的球體積公式。
③ 二次與三次方程 《隋書·律歷志》在敘述祖沖之的圓周率以後說：“又設開差冪，開差立，兼以正負參之。指要精密，算氏之最者也。”中國古代稱正系數的二次與三次方程解法為開帶從平方和開帶從立方，祖沖之用“差冪”取代帶從平方，用“差立”取代帶從立方，應指包括負系數在內的二次與三次方程的解法，因為隻有負系數的方程在開方時才需“兼以正負參之”。這一數學工作確實是劃時代的重大成就。
祖沖之父子這些成就也和他們的數學思想有關。和劉徽一樣，祖沖之強烈反對踵古，他在大明六年(462)和戴法興辯論歷法時，提出對古代一切歷法理論都要加以核驗，決不“虛推古人”。他重視實踐，為瞭制定一個準確的歷法，他不辭勞苦，長期進行觀測。他認為日、月、五星運行的速度“非出神怪，有形可驗，有數可推”。祖暅也十分重視數學思維和數學推理，他提出，如果不能從已知條件直接導出結論時，可以假借相同的條件來進行分析（控遠以演類，借況以折微）；在談到球體積公式還沒有解決時說：“夫豈難哉，抑末之思也。”言外之意是，他的球體積公式是經過邏輯思維推得的。
隋、唐數學的發展 隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進瞭數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映瞭這個時期數學發展的情況。已知不等高的長方棱臺體積和上底、下底、高、長的差，求上底、下底、高和長是一個三次方程問題。王孝通的主要貢獻是在《九章算術》的基礎上，在不用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決瞭當時社會的需要，也為後來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統的勾股形解法，他也有所發展，已知勾股形的勾股積與勾股差（或股弦差），求勾股，這類問題王孝通也是用數字三次方程解決的（見王孝通）。
唐初封建統治者繼承隋制，656年在國子監設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂註釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本。明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的;他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解，對讀者是有幫助的(見《算經十書》)。
隋唐時期，由於歷法的需要，天算學傢創立瞭二次函數的內插法，豐富瞭中國古代數學的內容。206年，為瞭確定合朔時刻，劉洪在《乾象歷》中首次提出用一次內插公式來確定月球在n+s（n為正整數，s＜1）日共行的度數。600年，隋代天文學傢劉焯在《皇極歷》中提出一個推算日、月、五星視行度數的等間距二次內插公式。727年一行（張燧，683～727）在他的《大衍歷》中又提出一個不等間距的二次內插公式。唐代其他歷法，都應用內插法進行計算。
計算技術的改革 算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優點，但也存在佈籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。現傳本《數術記遺》（題東漢徐嶽撰，北周甄鸞註）載有“積算”、“太乙”、“兩儀”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宮”、“運籌”、“瞭知”、“成數”、“把頭”、“龜算”、“珠算”、“計數”等14種算法，反映瞭這種改革的情況。其中“太乙算”、“兩儀算”、“三才算”和“珠算”都是用珠的槽算盤，在技術上是一項重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承瞭籌算五升十進與位值制的優點，又克服瞭籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優越性十分明顯。但由於當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。
唐中期以後，商業繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，書目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的內容就是用分解因數的方法；化多位乘除為個位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除數化為首位是1的數，從而變乘除為加減。現傳本《夏侯陽算經》記有很多這樣的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外減二”、“隔位加二”、“損一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用於籌算，也適用於珠算。
中國古代數學的繁榮 960年，北宋王朝的建立結束瞭五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版瞭《算經十書》。1213年鮑澣之又進行翻刻。這些情況為數學發展創造瞭良好的條件。從11～14世紀約300年期間，出現瞭一批著名的數學傢和數學著作，如賈憲（11世紀中期）的《黃帝九章算法細草》(已失傳)，劉益(12世紀中期)的《議古根源》（已失傳），秦九韶的《數書九章》(1247)，李冶的《測圓海鏡》(1248)和《益古演段》(1259)，楊輝的《詳解九章算法》(1261)、《日用算法》（1262）和《楊輝算法》(1274～1275)，朱世傑的《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》(1303)等，很多領域都達到古代數學的高峰。其中一些成就也是當時世界數學的高峰。
增乘開方法與賈憲三角（二項系數表） 從開平方、開立方到4次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖（見彩圖）
《詳解九章算法》（《永樂大典》本） 關於賈憲三角的記載
北京圖書館藏
“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開4次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造瞭增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比巴斯卡三角形早600多年。
高次方程數值解法 把增乘開方法推廣到數字高次方程（包括系數為負的情形）解法的是劉益（12世紀中期）。《楊輝算法》中《田畝比類乘除捷法》卷下介紹瞭原書中22個二次方程和1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集瞭21個用增乘開方法解高次方程（最高次數為10）的問題。為瞭適應增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數項規定為負數。他把高次方程解法分成各種類型，如：n次項系數不等於1的方程，奇次冪系數均為零的方程，進行x=y+с代換後常數項變號的方程與常數項符號不變而絕對值增大的方程等。方程的根為非整數時，秦九韶采取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母、常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽註處理無理數方法的發展。在求根的第2位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第2位數的試除法。秦九韶的方法比霍納方法早500多年。
高階等差級數求和 高階等差級數求和起源於沈括的"隙積術"。沈括在《夢溪筆談》卷十八中提出，用棋子之類的東西堆成長方垛，棋子總數為
(
α
b)是第一層的個數，с
d是第
n層的個數)。楊輝在《詳解九章算法》中討論瞭上述垛積的3個特例。即方亭垛(
α＝
b，с＝
d)、方錐垛(
α=
b=1，с=
d=
n)和三角垛
。朱世傑把高階等差級數求和問題與二項系數表結合起來，得到三角形垛
和嵐形垛
。
內插法 元代天文學傢王恂、郭守敬等在《授時歷》(1280)中解決瞭三次函數的內插值問題。秦九韶在“綴術推星”題、朱世傑在《四元玉鑒》“如象招數”題都提到內插法（他們稱為招差術），朱世傑得到一個四次函數的內插公式。
一次同餘式組解法 《孫子算經》“物不知數”題已提到一次同餘式組解法的例子，秦九韶把它一般化。在這個方法中有一個必須解決的關鍵問題是求同餘式kiGi≡1(modαi)中的ki，式中
。秦九韶在《數書九章》大衍類裡，用更相減損的方法給出
k
i一個計算程序，完滿地解決瞭這個問題，此外，秦九韶還討論瞭模數
α
i是收數(小數)、通數(分數)、元數（一般正整數）、復數（
10
n的倍數）非兩兩互素的情形，並分別給出變上述4種數為兩兩互素的模數的方法。
高次方程立法 用天元（相當於現在的x）作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術。這是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。李冶在一次項系數右旁記一“元”字（或在常數項右旁記一“太”字）。元以上的系數分別表示各正次冪，元以下的系數表示常數和各負次冪（在《益古演段》中又把這個次序倒轉過來）。建立方程的具體方法是，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式p1(x)和p2(x)，令二者相減，即得一個數字高次方程。若其中一個多項式是分式多項式，如
，李冶則變另一多項式
p
2(
x)為
，使二者相減時消去分式多項式的分母，得
。這是劉徽關於率的概念在多項式運算中的應用與發展。
高次聯立方程組 從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學傢的又一項傑出的創造。祖頤在《四元玉鑒》後序中提到，平陽李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，霍山劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱漢卿“按天、地、人、物立成四元”。前二書已失傳，留傳至今並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。朱世傑的四元高次聯立方程組表示法無疑是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央。四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法。其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若幹個一元高次方程式，然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，得到一個一元高次方程。最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展。朱世傑的方法比西方同類方法早400多年。
勾股形解法 勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充瞭《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行瞭詳細的研究，得到一系列的結果。他把容圓勾股形分成14個相似的勾股形，除按傳統的方法給出這些勾股形的名稱外，還用文字作符號來表示，與現今用字母A，B，C，…表示幾何圖形相似。從14個勾股形中，李冶得到692條“識別雜記”，闡明各勾股形的線段之間與線段的和、差、積之間的關系。除原有的勾股容圓外，李冶得到勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半等9個容圓公式，大大豐富瞭中國古代幾何學的內容。
弧矢割圓術 已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經餘弧，求赤經餘弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題。傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括的會圓術(已知弦、矢、半徑求弧長的近似公式)和天元術解決瞭這個問題。由於王恂、郭守敬求直徑時用圓周率3以及沈括的公式是一個近似公式，因此結果不夠精確。除此以外，整個推算步驟是正確無誤的。從數學意義上講，這個方法開辟瞭通往球面三角法的途徑。
縱橫圖 縱橫圖又稱幻方，根據《乾鑿度》和東漢鄭玄註，至遲在漢代已有一個三行縱橫圖。宋元時期，縱橫圖研究有瞭很大發展，楊輝在《續古摘奇算法》中記錄瞭這方面的成就。楊輝指出，九宮圖是一個從1～32的9個自然數排成三行三列，其行、列或對角線之和均為15的三行縱橫圖。這種圖可以推廣到從1到n2的情形，它的行、列或對角線之和為n(1+n2)/2。他還列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8個縱橫圖，並指出三行和四行縱橫圖的構造方法。楊輝的這一工作為這個領域的研究開辟瞭道路。
小數 現傳本《夏侯陽算經》已有化名數為十進小數的例子。宋元時代，這種十進小數有瞭廣泛應用和發展，秦九韶用名數作為小數的符號，例如18.56寸表示如圖1；李冶則依靠算式的位置表示，例如－8.25x2+2.673=0表示如圖2。楊輝和朱世傑的化斤價為兩價的歌訣，是小數的具體應用。
珠算的出現 中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多。改革的主要內容仍是乘除法。“留頭乘”最早見於朱世傑《算學啟蒙》。“九歸”最早出現在沈括的《夢溪筆談》，楊輝在《乘除通變本末》(1274)、朱世傑在《算學啟蒙》中進一步把它完善。“歸除”最早見於《算學啟蒙》，“撞歸”、“起一”是朱世傑首先提出來的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《詳明算法》，1373）和賈亨（著有《算法全能集》）把它具體化。“留頭乘”與“歸除”的出現，使乘除法不需任何變通便可在一個橫列裡進行，與現今珠算的方法完全一樣。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋已可能出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元代。
宋元數學的繁榮，是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果，是傳統數學發展的必然結果。此外，數學傢們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學傢都在不同程度上反對理學傢的象數神秘主義。李冶曾批評朱熹著作，說它不通的地方很多。他指出，說數學難認識是可以的，但說數學不能認識就不對；他認為數學來源於自然界，“茍能推自然之理”就可以“明自然之數”。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來也認識到，“通神明”的數學是不存在的，隻有“經世務類萬物”的數學。莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問實”則代表瞭朱世傑高度抽象思維的思想方法，楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判瞭象數神秘主義。所有這些，無疑是促進數學發展的重要因素。
中、西方數學的融合 明代進入瞭封建社會的晚期，封建統治者實行極權統治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數學發展逐漸衰落。16世紀末以後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭以後，近代數學開始傳入中國，中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期，直到19世紀末與20世紀初，近代數學研究才真正開始。
珠算的普及 從明初到明中葉，商品經濟有所發展，和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》(1371)和《魯班木經》(15世紀上半葉)的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，後者把算盤作為傢庭必需用品列入一般的木器傢具手冊中。隨後，珠算著作也陸續出現。如吳敬《九章詳註比類算法大全》（1450）、王文素《古今算學寶鑒》(1524)、徐心魯《盤珠算法》(1573)、柯尚遷《數學通軌》(1578)、朱載堉的《算學新說》（1584）、程大位《直指算法統宗》(1592)等。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除，從而實現瞭珠算四則運算的全部口訣化；朱載堉和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。
早期傳入的西方數學 1582年意大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以後，先後與徐光啟翻譯《幾何原本》前6卷(1607)、《測量法義》1卷(1607～1608)，與李之藻編譯《圜容較義》(1608)和《同文算指》(1613)。1629年，徐光啟被禮部任命在歷局督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學傢第谷的地心學說，作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若幹的三角學以及納皮爾算籌，伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。
在傳入的數學中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是現傳的中國第一部數學翻譯著作。絕大部分數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它“不必疑”，“不必改”，“舉世無一人不當學”。他所著的《測量異同》和《勾股義》，就是應用《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。他主編的《崇禎歷書》，天文學和數學基本理論占全書30％，充分說明他對理論的重視。《幾何原本》是明清兩代數學傢必讀的數學書，對他們的研究工作也頗有影響。其次，應用最廣的是三角學。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》2卷(1631)、《割圓八線表》6卷和羅雅谷的《測量全義》10卷（1631）。《大測》主要說明三角八線（正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、餘矢）的性質，造表方法和用表方法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角（直角三角形的弧與角的關系式和一般三角形的正弦定理和餘弦定理）。所有這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。
中西數學的會通 1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳祚、方中通等。穆尼閣去世後，薛鳳祚據其所學，編成《歷學會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有《比例對數表》1卷（1653）、《比例四線新表》1卷和《三角算法》1卷(1653)。前兩書是介紹英國數學傢 J.納皮爾和H.佈裡格斯發明增修的對數。後一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、納氏比例式(Nepiers analogies)等。方中通所著《數度衍》(1641)，對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。
清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》1卷，梅文鼎《梅氏叢書輯要》60卷(其中數學著作13種共40卷)，年希堯《視學》2卷等。王錫闡的工作主要是證明兩角和、差的正弦和餘弦公式。為瞭證明上述公式，他對涉及的名詞概念都逐一加以定義，引入“折”的概念取代角;由於缺乏直角坐標系的概念，在證明時他還把兩弧和兩弧的和差分為小於象限或大於象限的各種情形，方法是獨具一格的。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕於枯萎的明代數學出現瞭生機，在介紹西方數學中有校正、證明和補充。例如：校正瞭羅雅谷關於比例規敘述中的錯誤，證明三角學中沒有證明的公式和定理等。梅文鼎認為傳統的勾股形解法就是西方的幾何學和三角學，他用勾股形解法的公式證明《幾何原本》前6卷的15個定理，用勾股方法證明球面直角三角形的邊角關系公式。他創造一種直角射影的方法證明球面三角學的餘弦定理。對《測量全義》介紹的5種多面體公式，他證明瞭其中4種，其中關於二十面體的計算，他糾正瞭《測量全義》和羅雅谷的錯誤等。梅文鼎肯定數學來源於實際；對西方數學，他認為“技取其長而理唯其是”，“法有可采何論東西，理所當明何分新舊”，應該“去中西之見，以平心觀理”，態度是比較正確的。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方透視學的著作。
清康熙皇帝十分重視西方科學，他除瞭親自學習天文數學外，還培養瞭一些人才和翻譯瞭一些著作。1712年康熙皇帝命梅瑴成任蒙養齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙“禦定”的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》53卷主要由梅瑴成負責，分上下2編，上編包括《幾何原本》3卷、《算法原本》1卷，均譯自法文著作；下編40卷，包括算術、代數、平面幾何、平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。《數理精蘊》的基本內容除傳統數學和早期傳入的西方數學外，新傳入的數學有借根方比例、“連比例”方法，橢圓面積和橢球體積以及計算尺、素數表等。由於它是一部比較全面的初等數學百科全書，並有康熙“禦定”的名義，因此對當時數學研究是具有一定影響的。
1701年法國人杜德美帶來J.格雷果裡的“弧求正弦”、“弧求正矢”和I.牛頓的“圓徑求周”三個無窮級數的公式，但沒有證明。1800年前後，明安圖、董祐誠、項名達各自依據《數理精蘊》提出的“連比例”方法，對這些級數進行研究，獲得一些創造性結果。明安圖著有《割圓密率捷法》4卷(1774年由他的學生陳際新定稿)，他除瞭證明杜德美傳入的3個公式外，還創造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧”6個新的公式。董祐誠著有《割圜連比例圖解》2卷(1819)，他把明安圖9個公式概括為“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4個公式。1837年項名達又把董祐誠的4個公式概括為“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”兩個公式。他著有《象數一原》6卷(1837，由戴煦續成)。著作後面附有《橢圓求周術》，正確地解決瞭橢圓求周長的問題。
戴煦對三角函數的冪級數公式和橢圓求周的問題也有研究，著有《外切密率》4卷(1852)，補充正切、餘切、正割、餘割四個冪級數公式。為瞭簡化對數的計算，他創立瞭指數為任何有理數的二項式定理展開式，從而也得到對數函數的冪級數公式。這些成果記載在他著的《對數簡法》2卷(1845)和《續對數簡法》1卷(1846)中。
與戴煦同時，李善蘭在1845年著有《方圓闡幽》1卷，《弧矢啟秘》2卷與《對數探源》2卷。他創造尖錐術，並用它來論證二項平方根的冪級數公式，π的冪級數公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函數冪級數公式以及對數函數冪級數公式。所謂尖錐術是指對一切自然數n的乘方數xn都可用線段長表示，它們可以積迭成n乘尖錐面。這種尖錐面由相互垂直的底線、高(h)和凹向的尖錐曲線組成。其面積為
。這種尖錐面表示法已具有解析幾何的坐標表示的思想，求積法相當於冪函數的定積分公式。
綜上述可以看到，清代數學傢對西方數學做瞭大量的會通工作，並取得許多獨創性的成果。這些成果，如和傳統數學比較，是有進步的，但和同時代的西方比較，則明顯落後瞭。
傳統數學的整理和研究 雍正即位(1723)以後，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內對漢族士大夫實行高壓政策。在這種情況下，一般學者既不能接觸西方數學，又不敢過問經世致用之學，因而埋頭於究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主的乾嘉學派。1773年開設四庫全書館，輯錄《永樂大典》保存佚書和征集私傢藏書，於1781年編成《四庫全書》，先後收集到《算經十書》和宋元時期的數學著作。纂修兼分校官戴震（1724～1777）對《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五經算術》4部著作詳加校勘，改正許多誤文奪字，對學者是有幫助的。隨後，李潢(?～1811)著的《九章算術細草圖說》9卷，《海島算經細草圖說》1卷和《輯古算經考註》2卷，李銳註的《數書九章》、《測圓海鏡》和《益古演段》，沈欽裴著的《四元玉鑒細草》2 卷（1829）和羅士琳撰的《四元玉鑒細草》24卷(1834)都很有參考價值。
隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與註釋，出現瞭一個研究傳統數學的高潮。其中能突破舊有框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。焦循在《加減乘除釋》（1798）中，用甲、乙、丙、丁……等天幹字表示具體的數，列出加、減、乘、除的幾個基本定律，用這些符號和定律來說明古代算法原理，這在中國數學史上是一個創造。汪萊著有《衡齋算學》7冊(1796～1805)。在第五冊(1801)中，他討論瞭二次、三次方程有多少正根以及正根和系數的關系問題，得到與韋達定理相當的結果。在第七冊(1805)中專門討論三項方程xn-pxm+q=0（n＞m都是正整數，p、q都是正數），他用歸納法得到上述方程有正根的條件相當於
1802年李銳見到汪萊的《衡齋算學》第五冊算書後，寫瞭“第五冊算書跋”，提出n次高次方程隻有一個正根與多於一個正根和方程系數的符號有關，和得到一個正根後的(n-1)次方程的系數符號有關，他的結論基本上是正確的。在《開方說》(1817)中李銳進一步指出：高次方程系數符號變化一次的有1正根，變化二次的有2正根，變化三次的有3正根或1正根，變化四次的有4正根或2正根，所缺正根稱為“無數”，“凡無數必兩，無一無數者”。這些與笛卡兒的符號規則基本相同。他還指出：二次方程有2根，三次方程有3根或1根，四次方程有4根或2根（以上均包括負根）；若方程有正、負根，將方程系數的正負號隔位易之，則正負根互換符號；方程的重根與“無數”不同等等。汪萊、李銳的工作，和宋元時代的代數學比較是青出於藍而勝於藍的；和西方代數學比較，在時間上晚瞭一些，但他們的成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨立得到的。
對朱世傑的垛積術進行研究並有重大成果的是李善蘭，在《垛積比類》（約1859）中，李善蘭創造瞭一個著名的恒等式：
式中
為朱世傑三角垛的一般項，
是二項式定理系數。利用三角垛求和公式就得出一個中外馳名的三角自乘垛求和公式：
他還得到三角變垛
、三角再變垛
和三角三變垛
的公式。
與傳統數學研究出現高潮的同時，阮元與李銳等編寫瞭一部天文數學傢傳記──《疇人傳》(1795～1810)。《疇人傳》收集從黃帝時期到嘉慶四年(1799)已故的天文學傢和數學傢270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由“掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之”而成，收集的完全是第一手的原始資料，在學術界頗有影響。
近代數學的傳入 鴉片戰爭（1840）以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館，介紹西方數學。第二次鴉片戰爭(1860)後，曾國藩、李鴻章等官僚集團開展“洋務運動”，也主張介紹和學習西方數學。1864年美國長老會教士狄考文於山東登州設立文會館。1866年恭親王奕䜣建議在同文館內添設算學，1868年曾國藩、李鴻章於上海江南制造局內添設翻譯館，中國數學工作者在上述部門和外國人一起翻譯瞭一批近代數學著作。其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《幾何原本》後9卷（1857）、《代數學》13卷(1859)、《代微積拾級》18卷(1859)；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數術》25卷(1872)、《微積溯源》8卷（1874）、《決疑數學》10卷(1880)；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》10卷(1885)、《代數備旨》13卷(1891)；《筆算數學》3冊(1892)；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》3卷(1893)，《八線備旨》4卷(1894)等等。《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本，《代數學》是英國數學傢A.德·摩根所著，是一部重要的符號代數學譯本，《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創造瞭許多數學名詞和術語，至今還在應用，但所用數學符號一般已被淘汰瞭。戊戌變法(1898)以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》1卷、《考數根法》1卷(1872);夏鸞翔(1823～1864)的《洞方術圖解》2卷(1857)、《致曲術》1卷、《致曲圖解》1卷等等，都是會通中西學術思想的研究成果。
由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，在太平天國運動的沖擊下，在帝國主義列強的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後近代數學的研究才真正開始。