指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一類命題。這類命題也可以表述為:一個命題A，A蘊涵非A，同時非A蘊涵A，A與自身的否定非A等值。
歷史上的著名悖論 歷史上最早發現的悖論是古希臘麥加拉學派的說謊者悖論，用現代形式表述是“這句話本身是謊話”。這句話是真的還是假的？如果它是真的，即“這句話本身是謊話”是真的，它就是謊話，而謊話是假話，那麼它是假的；反之，如如果這句話是假的，即“這句話本身是謊話”是假的，它就不是謊話，那麼它就是真的。由此構成瞭一個邏輯矛盾──悖論。
悖論之所以引起現代邏輯學傢和數學傢的很大註意，是由於19世紀末20世紀初，在G.F.P.康托爾的集合論中發現瞭幾個著名的悖論：①佈拉裡 -福蒂悖論，即“最大的序數”或“包括一切序數的良序集”悖論。康托爾本人在1895年已經發現瞭這個悖論，並在次年告知D.希爾伯特。②康托爾悖論，即“最大基數”或“一切集合的集合”悖論。③羅素悖論，即“一切不是自身分子的集合所構成的集合”悖論。根據排中律，一個客體或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對一個給定的集合，問它是不是自身的分子，即問是否屬於它自己，看來是有意義的。如把一個集合S定義為：S由一切不是自身分子的集合所組成，即任一集合α，α屬於S，當且僅當，α不屬於α。這必然要涉及到 S是否屬於 S的問題。如果 S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就是屬於S，即S屬於S，當且僅當，S不屬於S。這是一個邏輯矛盾。在集合論中發現悖論，特別是羅素悖論，引起瞭邏輯界和數學界的震驚。因為，對於佈拉裡 -福蒂悖論和康托爾悖論，由於包含序數和基數這樣復雜的概念，還存有一種希望，它們可能是由於某種技術性的錯誤引起的，從而有可能通過發現和改正錯誤而加以消除。但是羅素悖論則不然，它是由最基本的邏輯概念、集合和屬於關系形成和表達的，其中沒有任何技術上的錯誤，這就不能不引起人們嚴重的關切。
繼發現集合論中的幾個著名悖論之後，人們又相繼發現瞭幾個不在集合論范圍的悖論。其中最重要的是瑞恰德悖論，即“一切可以用有窮個字定義的實數”悖論。這個悖論的一個變形是一個比較簡單的表述，即“不能用少於17個字定義的最小整數”。這句話定義瞭那個整數，而隻用瞭16個字。由於原來形式的瑞恰德悖論的論證和著名的康托爾對角線法相類似，從而更突出瞭探究悖論的性質、產生的根源、尋求解決方法的迫切性。
意義 悖論問題對邏輯學的發展產生瞭深遠的影響，它導致瞭兩個重大的進展，即類型論（見高階邏輯）的創立和集合論的公理化（見公理化和形式化）。悖論問題也與數學基礎的研究有密切的關系。一般說來，悖論的產生和某個原則有關，或者和某種說話方式有關，甚至和某個更一般的原則有關。康托爾集合論中出現的悖論，就牽涉到這樣一個原則，即一個性質定義(決定)一個集合，或者說，具有某個性質的元素的全體構成一個集合。說謊者悖論涉及說話的方式，即一句話說及它自己，對自己作瞭斷定。在邏輯學傢和數學傢中間，對產生悖論的根源有不同看法，並沿著不同的途徑解決悖論問題。B.A.W.羅素認為，產生悖論的根源在於，假定一類事物可以包括此類的整體(集合)作為分子。例如，一切集合所構成的類還是一個集合。更精確些說，一類事物可以包括隻能根據此類的整體才能定義的東西作為分子。羅素把這種類叫做“不合法的全體”，而承認它就會引起“惡性循環”，導致自相矛盾。為瞭消除產生悖論的根源，羅素提出瞭“(禁止)惡性循環原則”，並建立瞭類型論。不過，“（禁止）惡性循環原則”是一劑太猛烈的藥，因為不符合這個原則的並不總是導致悖論，它所排除的不僅是悖論，而且還排除瞭許多其他的重要數學內容。例如實數理論中的一條基本定理──最小上界定理，即“如果一個實數集合有上界，那末它就有最小上界”，在按照“（禁止）惡性循環原則”建立的系統中就是不能表達的。為瞭彌補這個缺陷，羅素又引入瞭所謂還原公理。但是，增加瞭還原公理，實質上就是勾銷瞭原來為排除瑞恰德悖論等悖論，而在類型論中提出的對同一類型的謂詞區分層次的要求。羅素為解決悖論所做的工作，實際上是引進新的邏輯原則，建立新的邏輯理論。按照許多數學傢的意見，解決集合論中的悖論並不需要建立新的邏輯理論，產生悖論的根源也不是由於違背瞭某條邏輯原則，而是在於集合概念不精確，並允許“太大的”集合存在，如“一切集合的集合”、“一切序數的集合”等。
與羅素建立類型論差不多的時間，德國數學傢E.策爾梅洛於1908年實現瞭集合論的公理化。策爾梅洛的基本想法就是對集合的大小加以限制，並提出一組關於集合的公理，認為隻有滿足公理的客體才是集合。他的公理集合論消除瞭康托爾集合論中的已知悖論，同時也不影響許多重要的數學定理，如對最小上界定理的陳述和證明。但是，它隻是說明瞭可以排除已知的悖論，而不能從理論上保證公理集合論不會再出現這樣或那樣的邏輯矛盾。K.哥德爾於1931年提出的不完全性定理表明，要證明集合論公理系統的一致性，有根本性的困難。
1926年，英國數學傢F.P.拉姆齊提出把悖論分成邏輯悖論和語義悖論兩類。前者又稱為語法的，它包括佈拉裡－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論等；後者也稱為認識論的，其中包括說謊者悖論和瑞恰德悖論等。拉姆齊認為有更簡單的方法，即通過區分對象語言和元語言這種更簡單的方法，就能解決語義悖論。因此，羅素為消除語義悖論而提出的那種很麻煩而且引起困難的類型支論，就不是必需的。隨著語義學的發展，真實性概念可以用集合論概念精確定義，因此，兩類悖論之間的差別也不是絕對的。