不是有理數的實數，其嚴格定義見實數。歐幾裏得《幾何原本》有些版本第10卷的最後一個命題就是用反證法證明
不是有理數。無理數可通過數軸直觀地理解。取定一條直線，在其上取定原點
O，單位長1及正方向（如圖），它就成為數軸。每個有理數在數軸上對應一個點。在對應1的點
P處向上作數軸的垂線，取距
P為l的點
R。以
O為圓心、
OR為半徑作圓，設它與正數軸交點為
Q。由於
OQ長為
，因此點
Q不能對應任何有理數。這些不能對應於有理數的點（事實上它們比能對應於有理數的點還要多），對應的就是無理數。無理數能寫為無限不循環十進制小數。
要確定某個具體的數是不是無理數，有時很難。人類幾千年前已接觸到的圓周率π，直到1767年才由J.H.朗伯證明它是無理數。他同時還證明瞭自然對數的底e是無理數。但到21世紀初，人類還不知道e＋π,eπ是否為無理數。
無理數的發現曾在古希臘學者中引起極大震動。公元前5世紀，畢達哥拉斯學派成員希帕蘇斯發現作為這個學派標志的五角星中有兩線段是不可公度的（相當於發現
是無理數），這違背學派萬物皆可歸於自然數及其比的信條。相傳當時學派的人正在海上，他們就把希帕蘇斯扔入大海。若此說為真，他或許是人類歷史上因發現科學真理而招殺身之禍的第一人。
關於無理數名詞的起源，見有理數。