射影微分幾何學

　　微分幾何學的一個分支。是在20世紀初期依據F.克萊因的思想開始發展起來的，研究的物件主要是曲線、曲面、共軛網等在射影變換群下的不變數、協變圖形及其性質。G.達佈的有名的曲面論這部著作中，蘊含瞭它的萌芽。到20世紀的40年代為止，概括起來，大致有三種討論的方法，其內容也隨著這些方法的建立而趨於完善。

　　第一種是以G.富比尼為首的義大利學派的方法。試以曲面論為例進行說明。設(x)=(x₁，x₄，x₃，x₄)是三維射影空間p³的點的齊次坐標，x=x(u，υ)是一個曲面S的參數表示。用一種射影不變的方法確定x的比例因子，從而獲得 G.富比尼的規范坐標。其次，按照規范坐標的表示x(u，υ)還可構造二次和三次的基本形式：

式中 φ和普通曲面論中的第二基本形式隻相差一個因子，於是 φ＝0定義瞭曲面的兩系主切（或漸近）曲線， ψ和 φ滿足配極關系，而且 ψ＝0定義瞭曲面的三系達佈曲線。這二個基本形式的系數必須滿足一系列的關系式，即所謂曲面的基本方程。同普通曲面論的場合一樣，可導出射影曲面論的基本定理，給定瞭兩個微分形式 φ和 ψ，並設它們的系數滿足上述的基本方程，那麼，除瞭射影變換外，可以惟一地決定一個曲面，使它的兩個基本形式是 φ和 ψ。

　　第二種是É.嘉當繼承達佈後創新的活動標架法。他重新建立起射影曲面論，這比起第一種來，既簡練，又富有廣泛性。所論的問題都被歸結為一個普法夫方程系統，它的可積分條件被寫成嘉當結構方程，而且許多結果就從此自然地被推導出來。

　　以n維射影空間pⁿ(n≥3)的共軛網A₀(u，υ)為例。設這網沿方向u的拉普拉斯變換是A_-1，A_-2，…，A_-m，…，而且沿方向υ的是A₁，A₂，…，A_m，…，則有

式中假定 α _r b _r≠0。如果用É.嘉當的外形式法來表達，上列方程組便可歸結為普法夫方程組

式中 此時，É.嘉當結構方程除瞭從定義得到的 ( D表示外微分)之外，可還有寫成外積形式的方程：

　　近年來發展起來的高維射影空間共軛網理論，就是這樣根據É.嘉當的外形式法建立的。

　　最後第三種是中國學者在20世紀30年代末期開創而發展起來的所謂結構式射影微分幾何，主要是用幾何作圖法來建立射影協變的構圖和不變量，例如，用平面曲線在其某種奇異點的不變量以表達其他幾何不變量，就是一項具有代表性的顯著的成果。

　　

參考書目

　蘇步青著：《射影曲面概論》，上海科學技術出版社，上海，1964。

　蘇步青著：《射影共軛網概論》，上海科學技術出版社，上海，1978。