三角級數-百科詞條

　　一種特殊的正交函數級數。形如

的級數稱為正交函數級數，其中с _n是和 x無關的實數，{ φ _n( x)}是在某固定區間[ α， b]上正交的函數系，特別當正交函數系是[0，2π]上的三角函數系時，相應的級數可寫作

(1)

稱為三角級數。式中 α _n( n=0，1，2，…)和 b _n( n=1，2，…)是與 x無關的實數，稱為三角級數(1)的系數。

　　三角級數(1)還可以寫成下面復數形式的級數：

(2)

式中系數

（ C _n表示с _n的共軛復數）。級數(2)的部分和 S _n理解為

　　如果三角級數(1)對一切實數x都收斂，那麼(1)表示瞭實數軸上的一個周期為2π周期函數f(x)，即f(x+2π)=f(x)對一切x∈(- ∞，∞)都成立。這是因為(1)中每一項都是周期為2π的周期函數。但是實際問題往往是，對給定的函數f，如果它是具有周期2π的周期函數，需要把它表示成三角級數(1)。19世紀初，法國科學傢J.-B.-J.傅裡葉在研究熱的流動時，為瞭求解熱方程，首先就提出瞭這個想法。他的設想，雖然從現在的觀點看，缺乏理論的嚴謹性，但卻是人們對三角級數進行研究的出發點，對於近代數學以及物理、工程等許多學科都有著深遠的影響。

　　如果三角級數(1)一致收斂於連續函數f(x)，那麼用coskx或sinkx去乘級數(1)，再在區間(0，2π)上進行積分，註意到逐項積分的可能性，就得到系數α_n，b_n與函數f的關系式：

(3)

公式(3)表達的系數 α _n， b _n稱為函數 f的傅裡葉系數，以 f的傅裡葉系數為系數的三角級數就稱為 f的傅裡葉級數。上面的事實說明：一致收斂於函數 f的三角級數必為 f的傅裡葉級數。

　　對於給定的周期函數f(x)，如果f是可積的，那麼從(3)式仍然可以得到α_n，b_n，從而得到相應的傅裡葉級數(1)。這就建議人們去研究f的傅裡葉級數是否收斂於f以及有關的許多問題。從19世紀到現在，傅裡葉級數的理論逐步得到建立，已成為三角級數理論中的一個基礎分支，也是一個具有廣泛應用的工具學科（見傅裡葉級數）。

　　傅裡葉級數的性質，由函數f可以通過(3)進行研究。自然要問，任意的三角級數(1)，是否為某函數的傅裡葉級數呢？這個問題的答案是否定的。因為根據傅裡葉系數的性質，傅裡葉系數α_n，b_n必須滿足條件