緊致性定理

　　模型論中的一條基礎性的定理。在一階模型論中，該定理的含義是：如果一階語言中一個命題集（形式理論）T的任何有限子集都有模型，則T自身有模型。在非一階模型論中，緊致性定理不一定成立，但有時有較弱的結論或能起類似作用的定理。

　　根據緊致性定理證明T有模型，隻需證明T的每一有限子集都有模型，而證明後者往往比直接證明T有模型要容易得多，這就是該定理之所以能在模型論以及其他一些數學分支中起重要作用的主要原因。例如，非標準分析是數學中一一個新分支，它是建立在這樣的有序域垬之上的，即垬和實數域R具有十分類似的普通性質，但垬中含有很多互不相等的無限小元及無限大元，這樣的垬用普通數學方法是難以構作的，但其存在性則可以用緊致性定理證明。因為，利用垬中的無限小元，可以避開通常的“ε-δ”方式，而用比較自然但又嚴格的方式定義R中數列的極限概念及函數的連續性概念等，進而也可以比較簡便地討論各種分析數學問題，這就是非標準分析。它是模型論、特別是其中的緊致性定理對於數學的一個既有數學意義又有方法論意義的重要應用。在代數中，利用緊致性定理可以得到一些邏輯性的“轉移原理”。例如:設ψ是一個關於群的一階命題，若ψ對於每個無限群都真，則ψ也對每個元數相當大的有限群為真。對其他代數結構，如環、域等，也有類似的“轉移原理”。又如：設ψ是一個關於域的一階命題。若ψ對於每個特征數零的域都真，則ψ也對每個特征數P相當大的域為真，等等。這些原理，都是難以用普通數學方法證明的。

　　緊致性定理也可用於探討一些數學命題間的和諧性、獨立性問題，例如可以用它證明數論中一些待解問題相對於自然數一階理論的一些較弱子理論的和諧性或獨立性。