研究具有兩個有逆運算的二元交換運算代數系的理論。代數學的基本分支之一。域論也是代數數論、代數幾何學及一些相關數學分支的基礎。稱集合F為域是指：①F上定義瞭兩個交換的且滿足結合律的運算(加法與乘法)；②F至少有兩個元素(加法的零元0與乘法的單位元1)；③對加法與乘法滿足分配律；④對加法成交換群(因而每一個元素都有負元)，非零元對乘法成交換群群(因而每一非零元都有逆元)。全體實數R、全體有理數Q、全體復數C對通常的加乘運算分別為實數域、有理數域、復數域。{a+
為有理數}對通常的加乘運算也成域。這些域都有無窮多個元素，而當
p為
素數時
對模
p的加乘運算(運算後取被
p除的餘數)也成域，其元素數
p有限，是最基本的
有限域，也常記為
Fp或GF(
p)。對域的單位元1，
n·1＝1＋1＋…＋1(
n個1之和)隻有兩種可能：①對一切
n，
n·1≠0，此時稱
F的特征為0，記為
ch
F=0；②有最小的
n使
n·1＝0，此時
n必為某一素數
p，稱這種域的特征為
p，記為
ch
F=
p。比如
ch
R=
ch
Q=
ch
C=0，而
ch
Z
p=
p。
如果F是域E的子集合且在E的運算下也成域，則稱F為E的子域，E為F的擴域。最小的子域又稱為素域。特征為0的域的素域與Q同構(保持加乘運算的一一對應稱同構)，特征為p的域的素域與Zp同構。對於域F，任取一集合S，一切形如f(s1,…,sn)/g(s1,…,sn)(g(s1,…,sn)≠0，f,g為系數在F中的多元多項式函數，s1,…,sn∈S）的元素按通常的加乘運算成為一域E，稱為F添加S的擴張(域)，記為E=F(S)。當S隻有一個元素α時，記為E=F(α)，稱為F的單擴張。當S={α1,…,αm}時，記為E=F(α1,…,αm)，稱為F的有限生成擴張。對於F的任意擴域E，E必為F上的線性空間，此空間的維數常記為[E: F]，又稱為E對F的擴張次數。擴張次數有限時又稱為有限(次)擴張(必為有限生成擴張)。α∈E為F上的一個非零多項式的零點時，稱α為F上的代數元，否則，就稱α為F上的超越元。如果F的擴域E中一切元素都是F上的代數元，則稱E為F的代數擴張，否則，就稱E為F的非代數擴張。特別地，F添加超越元的擴張稱為超越擴張。代數擴張的代數擴張仍為代數擴張。對F的任意擴域E，E中全體(F上的)代數元成為F，E的中間域K，又稱K為F在E中的代數閉包。a∈E但a"K時，a必為F上的超越元。比如取F＝Q，E=C，a為π(圓周率)或e(自然對數的底)，K為(C中)Q上代數元所成的域，則a"K，Q(a)為Q的超越擴張。著名的呂洛特定理指出：若E=F(a)為F的單超越擴張，則F與E的中間域L(≠F時)必為F的單超越擴張。這條定理對平面曲線有著有趣的幾何意義。
對研究一元代數方程根式解發展起來的伽羅瓦理論，域論起著重要的作用，事實上二者是互相滲透、密不可分的。
實數(或復數)的絕對值概念推廣到域上又產生出有用的賦值論。賦值的概念是1913年J.屈而沙克提出的。設φ為域F上取非負實數值的函數，且滿足：
①φ(a)=0當且僅當a=0，且有a∈F使φ(a)≠1
②φ(ab)=φ(a)φ(b)
③φ(a+b)≤φ(a)+φ(b)則稱φ是F上的一個賦值或絕對值。後來，A.奧斯特羅夫斯基又引進另一種賦值φ，它滿足①與②以及
④φ(a+b)≤max(φ(a)，φ(b))且稱這種φ為非阿基米德賦值(絕對值)，而實數域與復數域的通常絕對值則稱為阿基米德賦值。借助於F上的賦值φ，可將分析中的一些概念引入到F中，如柯西序列。設{ai}是F的一個序列。若對任意實數ε＞0，必有自然數n0，使得當m，n≥n0時，恒有φ(am－an)＜ε，則稱{an}為(F,φ)的一個φ柯西序列。若對於序列{ai}，有a∈F，使得當n≥n0時恒有φ(an－a)＜ε，則稱{ai}是φ收斂的，而a稱為它的φ極限。若(F，φ)中每個φ柯西序列都是φ收斂的，則稱F關於φ是完全的，或者說(F，φ)是完全域(complete field)。上述賦值中的“非負實數”可推廣為有序交換群Г，從而引出賦值環、賦值階的研究。當Г為無限循環群時，又稱為離散賦值。
推薦書目
聶靈沼, 丁石孫. 代數學引論. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2000.
JACOBSON N. Basic Algebra. San Francisco: W. H. Freeman, 1980.