描述原子中單電子處於真實的(如氫原子或類氫離子的單電子體系)或假定的(即有效的,如多電子原子的電子體系)中心勢場中束縛態波函數的空間部分,即單電子薛定諤方程
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由於中心場中的單電子哈密頓算符
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(1)
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(2)
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(3)
式中n為主量子數,l為角量子數,m為磁量子數。
氫原子和類氫離子的原子軌道 氫原子和類氫離子是由一個電子和原子核組成的雙粒子體系,原子核帶Ze正電荷,Z為原子序數。其庫侖相互作用位能隻與電子和核的相對位置 |r|=|re-rN|有關,re為電子位矢,rN為核位矢。引入質心坐標以後,雙粒子運動方程可分成兩個分別描述質心的自由運動和電子相對於核的相對運動的方程:
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(4)
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(5)
式中▽嵔表示相應於質心坐標的拉普拉斯算符;R是質心位矢,Ec是質心運動能量,這是個自由粒子運動方程,與原子內部結構無關。式(5)中r是電子相對於核的位矢;E是電子相對於核運動的能量,即電子的能級。這樣,雙粒子問題簡化為單粒子問題。方程(2)、(3)、(5)的共同本征函數的數學表示式和本征值為:
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(6)
式中n=1,2,3,…;
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(7)
式中l=0,1,2,…,n-1;m=0,±1,±2,…,±l;Rnl(r)是原子軌道的徑向部分;Ylm(θ,φ)是球諧函數,即原子軌道的角度部分。Rnl(r)和Ylm(θ,φ)的物理意義是:規定ωnl(r)dr為電子在r→r+dr球殼內的幾率,則:
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同樣,在方位(θ,φ)附近立體角元dΩ=sinθdθdφ內的幾率
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圖1是徑向分佈圖像(圖中的10、20、…為量子數,如10表示n=1、l=0),角分佈圖象見圖2。
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多電子原子軌道 由於多電子體系中存在著電子間相互作用,運用瞭核電分離的近似後,還不能精確求解體系的薛定諤方程。常進一步采用中心勢場近似方法,即認為某個電子處於原子核和其他電子產生的平均勢場中運動,並在對方位(θ,φ)取平均以後,使該電子的位能函數隻依賴於電子對核的距離r,記作V(r)。根據電子受核的靜電作用受到其他電子的屏蔽,可假定V(r)能寫成:
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(8)
式中σ為其他電子引起的屏蔽常數。這樣,多電子原子軌道將具有與類氫離子的軌道相似的形式,僅是用(Z-σ)代替瞭原來類氫軌道的Z而已。若中心勢場V(r)不具有式(8)所示形式,多電子原子軌道的徑向部分Rnl(r)將不同於類氫軌道(但角度部分是完全相同的),且軌道能量εnl也將與角量子數l有關。n相同時,l越大,軌道能量εnl越高。
實際上,多電子原子軌道常用自洽場方法求解單電子函數滿足的哈特裡-福克方程(見自洽場分子軌道法)獲得。自洽場原子軌道能夠給出多電子原子的電子結構方面足夠精確的信息,因而至今哈特裡-福克自洽場方法仍被廣泛采用。