自由振動

　　力學系統受初始擾動後，不再受其他激勵而在其平衡位置附近的振動。由於介質阻尼和內耗都看作是屬於振動系統的，因此自由振動也包括有阻尼力的振動。最簡單的自由振動就是簡諧振動。其次是有阻尼力的單自由度線性振動（見線性振動）。對於多自由度的自由振動，由於振動過程發生在系統穩定的平衡位置鄰近，若取平衡位置為廣義座標的原點，這時系統的動能T和勢能V可近似地表為：

<

式中q為廣義坐標；m為質量；k為剛度。作用在系統上還有與阻尼力類似的耗散力。這種力學系統的運動方程為：

　　(1)

式中F為瑞利耗散函數，

L＝ T－ V為拉格朗日函數。

　　對於保守系統，F＝0，式(1)變成完整保守系統的拉格朗日方程：

　　應用上式於多自由度保守系統的自由線性振動，可得振動方程：

Μ璥+Kq=0，　　　　　　　　(2)

式中

q=(q₁，q₂，…q_n)^T，

它們分別為質量矩陣、剛度矩陣和廣義位移矢量。

　　這種保守系統的振動特色是由各廣義位移作簡諧振動而形成的。可設主振動為：

q=usin(ωt+φ)，　　　　　　　　(3)

式中u=(u₁，u₂，…u_n)^T，稱為主振型矢量；q和u都可看作列矩陣。將式(3)代入式(2)並約去sin(ωt+φ)，得：

Ku-ω²Μu=0，　　　　　　　　(4)

上式稱為特征矢方程，而H=K-ω²Μ稱為特征矩陣。式(4)有非零解的條件為：

｜H｜=｜K-ω²Μ｜=0，　　　　　　　(5)

式(5)稱為特征方程；從式(5)可解出n個ω_i(i=1，2，…，n)。將ω_i代入式(4)後，可解得對應於ω_i的n個u_i。ω_i稱固有頻率（主頻率），或特征值；u_i稱固有振型（主振型）或特征矢量。當K和Μ為n階實對稱矩陣，且Μ正定時，存在n個實特征值ω_i和相應的n個特征矢量u_i，故式(2)的特解可寫為：

式中A_i和φ_i是待定常數，由初始條件決定。例如已知t=0時的q₀和粋₀，則有：

　　　　

從而可求出A_i和φ_i(i＝1，2，…，n)。

　　

參考書目

　王光遠編著：《應用分析動力學》，人民教育出版社，北京，1981。