剛體定點轉動動力學的組成部分，研究剛體在重力作用下繞一定點的轉動。
研究簡史 在L.歐拉和J.-L.拉格朗日對剛體動力學作瞭具有經典意義的研究以後，重剛體定點轉動問題一直受到理論力學學者的註意。L.潘索的幾何解法（見剛體定點轉動解法）、C.G.J.雅可比的橢圓函數解法等成果，激起人們希望從理論上求出這個問題的普遍積分法。1888年С.В.柯娃列夫斯卡婭利用複變函數的解析工具，，找到新的可積情形。歐拉、拉格朗日和柯娃列夫斯卡婭得出的三種情形，就是這個問題全部的可積情形；要從理論上將任何其他情形化成求積形式是不可能的，從而使剛體在重力作用下繞固定點轉動的問題成為理論力學中的著名經典問題之一。
基本方程組 圖1表示剛體繞定點O的轉動。令Oξηζ為固定在地球上的坐標系，其中Oζ垂直向上，忽略地球運動對剛體的影響。Oxyz為固聯在剛體上O點的慣性主軸坐標系。令剛體重心C在Oxyz系中的坐標為(xC，yC，zC)，則剛體在重力作用下繞固定點轉動的歐拉方程組為：
式中Μ為剛體質量；Ixx，Iyy，Izz為剛體的三個主轉動慣量；g為重力加速度；γ1，γ2，γ3為Oζ方向單位矢量在Oxyz系中的分量；ωx，ωy，ωz為剛體瞬時角速度在Oxyz系中的分量。歐拉方程組中有六個變量，所以必須另有三個方程，即泊松方程組：
歐拉方程組和泊松方程組一起構成六個變量六個方程的非線性動力學封閉方程組。求解剛體在重力作用下繞固定點的轉動問題，在理論上就是要尋求這個方程組的積分。
第四個積分問題 完全解決剛體在重力作用下繞固定點的轉動問題需要找到基本方程組的六個獨立的第一積分。通過將基本方程組改寫成雅可比的對稱形式，根據時間消去法和後乘子理論可以斷定：隻要能找到四個不包含時間t的獨立的第一積分，問題就可以化為求積的形式，這樣在理論上被認為是完全解決瞭。根據剛體在重力作用下繞固定點轉動的基本力學性質，可以求出三個獨立的不含時間t的第一積分：
能量積分
=常數；
ζ方向的動量矩守恒積分
幾何積分
。由此可以得到如下重要結論：在理論上將剛體在重力作用下繞固定點轉動的問題化為求積的形式還需要再尋求一個不含時間
t的獨立的第一積分。這就是著名的第四個積分的問題。
可積情形 剛體在重力作用下繞固定點的轉動問題在如下三種情形下有第四個第一積分存在。
歐拉情形 剛體的重心恰好就在固定點，亦即xC=yC=zC=0。在這種情形中，剛體所受到的重力矩恒為零，也就是剛體繞固定點作純慣性運動。它的第四個第一積分可以由動量矩守恒得到：
剛體在歐拉情形下的運動可用橢圓函數來描述，而潘索的幾何研究則給出此種情形下剛體運動直觀而又清晰的圖案。
拉格朗日情形
不失一般性，可假定
zC＞0。將這些條件代入歐拉方程組，得到
，從而得到第四個第一積分
ωz=
Ω（常數）。這種情形的運動描繪瞭一般重力陀螺的規律。記陀螺軸與鉛垂軸的傾角（稱為章動角）為
θ，繞鉛垂軸的旋進角為
ψ，陀螺的自轉角為
φ，根據運動學關系並利用
ωz=
Ω這個積分，可直接得到：
能量積分
(常數)；
ζ方向的動量矩守恒積分
從上面兩個式子中消去夗，並作u=cosθ變換，可得：
悚2=
(
u)=(α-β
u)(1-
u
2)-(
a-
bu)
2，
式中
均為常數。
由上式可以看出，對於拉格朗日情形，動力學問題的求解化成如下積分的反轉問題：
式中f(u)是一個如上述的三次多項式。對此式略加變換，仍可歸結為橢圓積分的反轉問題。
分析重力陀螺運動的特征可以不必完整地完成上述反轉過程。f(u)的一般圖像如圖2所示。由於對任意的實際運動應有f(u)≥0，所以章動角θ一定在由u1，u2所決定的θ1，θ2范圍內變化，即滿足θ2≤θ≤θ1。當u1，u2合成一個重根時，剛好對應於陀螺作規則運動的特殊情形。用陀螺對稱軸在單位球面上劃出的軌跡來描述陀螺的運動，可得到常見的運動圖案(圖3、圖4、圖5)。
柯娃列夫斯卡婭情形
，且重心在回轉慣性橢球的赤道面上。不失一般性，可選擇
x，
y軸使
。在此情形下，有第四個不包含時間
t的獨立的第一積分：
式中n=ΜgxC/Izz。對於這種情形，將動力學方程化成求積過程需要引入一些復雜的變換。推演的結果證明，問題最後歸結到
形式積分的反轉，式中
R為
x與
的有理函數；
p(
x)為的五次多項式。這種形式的積分叫作超橢圓積分，由它的反轉所決定的函數叫作超橢圓函數。因此，柯娃列夫斯卡婭情形的解必須用超橢圓函數才能加以表達。
以上三種情形，是剛體在重力作用下繞固定點轉動的可積情形。它們之中都存在第四個第一積分，而且所有的第一積分都是代數積分(單值的)。除上述三種情形外，任何其他情形都不可能有第四個單值的第一積分存在，因而也不可能在理論上將上述動力學問題化成求積的形式。這是理論力學經典問題中著名的反面結果，它揭示瞭應用分析工具在理論上解決剛體動力學一般問題的困難。必須說明的是：以上所說的第一積分都是指對剛體運動的初始條件不加限制而能普遍成立的通積分而言。如果對剛體的初始條件加以限制，則結論就完全不同瞭。