正則變換

　　由一組正則變數到另一組能保持正則形式不變的變數的變換。設某系統存在著一組廣義座標q₁，q₂，…，q_N和廣義動量p_{1，p2，…，pN，而變量變換式為：}

式中t為時間。如果變換式(1)滿足

，

而且使系統原來的正則方程

，

(i=1，2，…，N)變換到以K為哈密頓函數的另一組正則方程

，( i=1，2，…， N)　(2)

則式(1)稱為正則變換。式(2)中的K(Q，P，t)是新哈密頓函數。

　　根據正則方程與廣義哈密頓原理的等價性，上述要求也可表述為：

　　(3)

如果上式同時成立，其被積函數應滿足

　　(4)

式中F稱為正則變換的“母函數”。由於4N個新老正則變量之間有2N個變換關系式相聯系，可在其中選出2N個變量作為獨立變量。假定某類正則變換可以選擇(q，Q)這2N個變量作為獨立變量，則F可表達為(q，Q，t)的函數，並記為F₁。於是有：

　(5)

而　　　　

將上式代入(5)中，比較系數得：

，　　(6)

式中 F ₁稱為“第一類的母函數”，可以按要求適當選定。 F ₁選定後，可自式(6)的第一式解出 Q，再自第二式算出 P， K可由式(6)的末一式求得。這樣求得的 Q， P， K一定適合正則方程：

。

　　在4N個新老正則變量中，如果對2N個獨立變量的取法不同，則母函數的形式也不同。常用的母函數有F₁(q，Q，t)，F₂(q，P，t)，F₃(p，Q，t)，F₄(p，P，t)。它們之間的關系可寫為：

　　施行正則變換的目的是將正則方程變換成較易求解的方程。如選擇正則變換，使變換後的新哈密頓函數

，則這種變換後的新廣義坐標全部成為 可遺坐標。由式(2)得：

，

故　　　　Q_i=α_i，P_i=β_i，

式中α_i，β_i分別為積分常數。

　　假定上述正則變換的母函數為F₁，根據式(6)的末一式，應該有：

。　　　　(7)

　　 將F₁寫成S(q，Q，t)，再把式(6)中的第一式代入式(7)中便得到：

這就是著名的哈密頓－雅可比方程，通過它的全積分可以找到滿足上述要求的正則變換。

　　正則變換的研究在天體力學中有廣泛的應用。