張量

　　張量理論是數學的一個分支學科，在力學中有重要應用。張量這一術語起源於力學，它最初是用來表示彈性介質中各點應力狀態的，後來張量理論發展成為力學和物理學的一個有力的數學工具。張量之所以重要，在於它可以滿足一切物理定律必須與坐標系的選擇無關的特性。張量概念是向量概念的推廣，向量是一階張量。瞭解張量必須先知道張量的兩項規定，即求和約定和張量指標。

　　①求和約定　指在給定的項中凡有一上和一下兩個相同的指標就表示對該指標從1到空間維數數N求和。例如，在三維空間中，

。

　　②張量指標　包括啞指標和自由指標。啞指標是指各項中一上和一下成對的相同指標。例如，上式中的指標i就是啞指標。自由指標是指在方程的所有項中隻出現一次的指標。

　　張量定義　有兩種形式：

　　①按變換規律定義：若一坐標系｛

｝中 個量 與另一坐標系｛ ′｝中 個量 間滿足變換規律

　　

則

稱為 r階逆變和 s階協變混合張量的分量。若 s＝0，則 稱為 r階逆變張量的分量。若 r＝0，則 稱為 s階協變張量的分量。上述這種張量記法稱為分量記法。

　　②按不變性定義　凡可以在任何坐標系中寫成下列不變性形式的量定義為r+s階張量：

　　　

式中g_i(g^j)和g_i^′（g^j′）分別為坐標系{xⁱ}和坐標系{x^i′}中的協(逆)變基矢量。上述這種張量記法稱為不變性記法或並矢記法。

　　張量代數的基本運算　主要有下述七種運算：

　　①加（減）法　兩個或多個同階同型張量之和(差)仍是與它們同階同型的張量。

　　②並積　兩個張量的並積是一個階數等於原來兩個張量階數之和的新張量。

　　③縮並　使張量的一個上標和一個下標相同的運算，其結果是一個比原來張量低二階的新張量。

　　④點積　兩個張量之間並積和縮並的聯合運算。例如，在極分解定理中，三個二階張量

。

　　⑤對稱化和反稱化　對已給張量的n個指標進行n!不同置換並取所得的n!個新張量的算術平均值的運算稱為對稱化。把指標經過奇次置換的新張量取反符號後再求算術平均值的運算稱為反稱化。

　　⑥加法分解　任意二階張量可以唯一地分解為對稱部分和反稱部分之和。例如，速度梯率L_ij可以分解為

其中D_ij和W_ij分別為L_ij的對稱和反稱部分，即

。

　　⑦商法則　肯定某些量的張量性的法則。

　　特殊張量　主要有四種：

　　①度量張量　兩個基矢量點積的結果。g_ij=g_i·g_j和g^ij=gⁱ·g^j分別稱為協變和逆變度量張量，而混合度量張量g

=g ⁱ·g _j=δ ，這裡δ （或寫為δ _ij）為克羅內克符號，它定義為：

　　②交錯張量或愛丁頓張量　可定義為

，

這裡

表示元素為g _mn的行列式，而置換符號 表示

　　③轉置張量　對任意二階張量

＝ L_ijg ⁱg ^j的分量指標置換的結果，記為 ^T= L_ji g ⁱg ^j。

　　④正交張量　保持映象長度不變的二階張量。

　　克裡斯托費爾符號　第一類和第二類克裡斯托費爾符號分別定義為：

和

　　協變導數　協變矢量T_i和逆變矢量Tⁱ關於x^j的協變導數分別定義為：

和

上列結果可以推廣到高階張量的協變導數。

　　不變性微分算符　推廣矢量分析概念，對於任意張量場T有四種不變性微分算符，即梯度▽

，散度▽. ，旋度▽× 和拉普拉斯算符▽ ² 。

　　在直角坐標系下，協變和逆變間的差別消失，故可規定所有指標均寫成下標；另外，由於克裡斯托費爾符號為零，所以協變導數變成為普通偏導數。