運動穩定性

　　研究幹擾力對系統運動狀態（座標、速度及其函數等）的影響，從而建立判別運動狀態是否穩定的法則。幹擾力對不同的運動狀態產生不同的影響。如果幹擾力對某些運動狀態的影響並不顯著，即隨著時間的發展受幹擾的運動狀態(受擾運動)與不受幹擾的運動狀態（無擾運動）相差很小，就稱這些運動是穩定的；否則是不穩定的。

　　在現代科學技術中，如火箭的飛行、機器的運轉以及電力的傳輸等，都必須研究穩定性問題。設計飛機時要選擇穩定的方案，以確保飛機安全飛行行。對於戰鬥機，當機身急速滾翻時，必須防止攻角過大而失速，否則有陷入大螺旋（尾旋）的危險。這就是飛機大擾動的穩定性問題。

　　簡史　“穩定性”一詞來自拉丁文“stabilitas”，其含義是“恒定性”。17世紀中葉，學者們就曾研究太陽系的穩定性問題，即隨著時間的無限增大，行星是否會無限接近或遠離太陽，或處於穩定狀態中。J.-L.拉格朗日證明瞭平衡狀態的穩定性定理：如果勢函數在平衡位置是嚴格極小，則該平衡狀態穩定（見力學系統平衡位置穩定性）。E.J.勞思和Н.Е.儒科夫斯基也曾研究過穩定性問題，但僅限於一些特殊情況，而且方法也不嚴格。

　　19世紀末，由於生產技術的需要和數學、天體力學的發展，在H.龐加萊有關理論的啟示下，A.M.裡雅普諾夫從理論上對運動穩定性的普遍問題作瞭嚴格的論證和系統的分析，提出瞭解決運動穩定性問題的兩個方法。第一方法是通過求解微分方程來分析運動的穩定性。第二方法（直接法）是所謂定性方法，它不需求解微分方程，而是尋求具有某些性質的函數，使這些函數與微分方程相聯系，就可以控制積分軌線的動向。從幾何上講，就是要建立一族封閉的、彼此不相交的曲面（在平面上就是一族封閉的、彼此不相交的曲線），去包圍它們的坐標原點；同時還要求構造的函數在與微分方程相聯系後，能夠控制積分軌線由外向裡地（或反向）與每一個曲面（或曲線）相交。一旦找出具有這種性質的函數，運動穩定性的問題就可得到解決。裡雅普諾夫第二方法是目前解決運動穩定性的基本方法，已在應用數學、陀螺力學、自動控制、航空和航天事業中得到廣泛應用。

　　內容和研究方法　為進一步瞭解運動穩定性問題，下面分別介紹系統受擾運動微分方程、運動穩定性的基本概念、裡雅普諾夫定理以及按首次近似判別穩定性的方法。

　　系統受擾運動微分方程　描述力學系統的非線性微分方程組為：

ẏ=G(t，y)，　　　　　　　　(1)

式中y=(y₁，y₂，…，y_n)為n維矢量，表示運動狀態；t為時間；G為y和n的矢量函數。考察式（1）的某個特解y＝g(t)，如果取它是無擾運動，則同它相比較的其他運動，就是受擾運動。如果幹擾力對運動狀態的影響僅體現在初始條件的改變上，故無擾運動和受擾運動對應不同的初始條件而滿足同一個運動微分方程。可以引進坐標變換：

x(t)＝y(t)－g(t)，

式中y(t)為受擾運動；g(t)為無擾運動；x(t)為二者的差值，稱為擾動。擾動所滿足的運動微分方程，就稱為受擾運動微分方程：

ẋ=F(t，x)。　　　　　　　　(2)

系統的每種運動都對應受擾運動微分方程(2)的一個特解。無擾運動對應零解x＝0，並且F(t，0)=0。以後就研究零解的穩定性問題。

　　如果方程(2)的右端函數F(t，x)顯含時間t，就稱無擾運動是非定常的，或稱此動力體系為非定常系統（非自治系統）。單擺振動的受擾運動微分方程，就是一類比較簡單的非定常運動。有關振動的穩定性問題，經常是歸結到這一類方程中去研究。河水暴漲時，水質點的運動也是非定常的，或稱它是非定常流動。如果方程(2)的右端函數F(x)不顯含時間t，就稱這種無擾運動為定常的，或稱系統為定常系統（自治系統）。這類系統雖然比較簡單，但是許多實際問題都可以由它們來描述，例如剛體繞固定點轉動的拉格朗日情況（見重剛體定點轉動）。

　　運動穩定性的基本概念　給定某一區域Ω：

‖x‖≤H，　t≥t₀，

t₀為初始時刻；t₀、H為正的常數，且H≠0；‖x‖為矢量x的范數。設方程(2)的右端函數F(t，x)在區域Ω內連續並滿足微分方程解的唯一性條件。如果對於任何正數ε＜H，無論它多麼小，總可選擇另一個正數η(ε)，當初始狀態x（t₀）滿足‖x(t₀)‖≤η時，對於所有t＞t₀，‖x（t）‖＜ε成立，則稱無擾運動穩定。這時，從球S₂(η)（‖x‖＝η）內出發的每一條軌線，將永遠逗留在球S₁(ε)(‖x‖＝ε)內（圖1的C₁）。反之，則稱為不穩定；即不論η如何選擇，總有一條軌線從球S₂(η)內一點出發後，最終要到達球S₁(ε)(圖1的C₂)。如果無擾運動是穩定的，並且η可以選擇得如此之小，使得當x（t₀）滿足‖x(t₀)‖≤η，對於t→∞，‖x(t)‖→0成立，則稱此無擾運動為漸近穩定；即從球S₂(η)內出發的每一條軌線，將趨向於零點（圖1）的C₃。具備這一性質的全部初始狀態的集合，稱為漸近穩定性區域。如果該區域是整個空間，則稱系統是全局漸近穩定(大范圍漸近穩定)。

　　為便於研究，還需引入實變量的實函數V(t，x)，它在區域Ω內是單值連續的，且V(t，0)＝0。當x≠0時，如果V(t，x)≥0，就稱為正的常號函數；而V(t，x)≤0，則稱為負的常號函數。對於不顯含時間t的函數V(x)，如果V(0)＝0，且x≠0時，V(x)＞0，就稱為正的定號函數；而V(x)＜0，稱為負的定號函數。對於顯含時間t的函數V(t，x)，如果V(t，0)=0，且x≠0時，V(t，x)≥W(x)[W(x)是不顯含時間t的正的定號函數]，就稱為正的定號函數；而－V(t，x)≥W（x），稱為負的定號函數。如對於任一正數δ，不論它多麼小，總可找到另一正數λ，使得對於所有t≥t₀和‖x‖≤λ，│V(t，x)│＜δ成立，就稱函數V（t，x）具有無窮小上界。由於受擾運動微分方程(2)，可求出V(t，x)對時間t的全導數轒(t，x)=(▽V)^TF(t，x)+

，這裡(　) ^T表示轉置。如果 x( t)是受擾運動微分方程(2)的解，則轒[ t， x( t)]是函數 V沿解的變化率。

　　裡雅普諾夫定理　俄國數學傢和力學傢A.M.裡雅普諾夫於1892年發表瞭有關運動穩定性的論文，證明瞭以下定理：

　　①穩定性定理　對於受擾運動微分方程，如果可以找到一個定號函數V，由於這些方程，使得它對時間t的全導數轒成為與V異號的常號函數，或恒等於零，則無擾運動穩定。

　　②漸近穩定性定理　對於受擾運動微分方程，如果能夠找到一個具有無窮小上界的定號函數V，由於這些方程，使得它對時間t的全導數轒成為與V異號的定號函數，則無擾運動漸近穩定。

　　③不穩定性定理　對於受擾運動微分方程，如果能夠找到一個具有無窮小上界的函數V，由於這些方程，使得它對時間t的全導數轒是定號函數，而且對於任意小的‖x‖值和大於某個常數的任何t值，函數V的值可以與它的導數轒同號，則無擾運動不穩定。

　　裡雅普諾夫曾證明過兩個不穩定性定理。但它們有很大的缺點，即要求函數V在Ω的全部區域內具有一定的性質。事實上，對於不穩定性問題的分析，隻需知道函數V在某一部分區域內的性質就夠瞭。Н.Г.切塔耶夫已在其不穩定性定理中推廣瞭它們。

　　在許多工程技術問題中，雖然就全系統而言可能不穩定，但對於某些變量(或這些變量的函數)而言還可能穩定或漸近穩定，這就是所謂部分變量穩定性問題。這是運動穩定性中更有普遍意義的命題。研究這個問題不僅對於有限自由度的一般系統有用，而且對於大系統(由諸子系統組成的復合系統) 和空腔充有液體的無窮多自由度的混合系統（或稱復雜系統）也有用。關於部分變量穩定性的命題，是裡雅普諾夫最先提出的，後由И.Г.馬爾金作瞭闡述，但沒有作出證明。實際上，切塔耶夫的不穩定性定理是研究部分變量不穩定性問題的基礎，而B.B.魯緬采夫首次證明瞭關於部分變量的穩定性定理和漸近穩定性定理。

　　裡雅普諾夫定理以及其他一些推廣的穩定性定理，一般地說都是給出分析系統穩定性的充分條件。它們對於線性和非線性系統、定常和非定常系統都是適用的。對於某些問題，經常要用到穩定性定理，如陀螺系統穩定性等。對於控制系統，經常用到的是漸近穩定性定理。另一方面，又可用不穩定性定理來預測不穩定性的設計方案，以避免事故。

　　能滿足裡雅普諾夫定理的函數V，稱為裡雅普諾夫函數，而構造合適的函數V，是應用第二方法（直接法）的基礎。在某些情況下，如果取系統的能量函數作為函數V，可以得到一些比較好的結果。但在一般情況下，則不成功。裡雅普諾夫函數是一個比能量函數更加廣泛的概念，它有時為標量函數，有時為矢量函數，也可以是泛函。構造裡雅普諾夫函數並不容易，到目前為止，還沒有找出統一法則，隻能針對一些實際問題提出一些有效方法。如利用首次積分構造函數的切塔耶夫法，對控制系統構造函數的盧裡耶法，裡雅普諾夫矢量函數法，利用數字電子計算機構造函數法，等等。另外，也可以推廣已有的穩定性定理，從而減弱對所需函數條件的要求等。

　　下面就一個二維非線性系統的問題來分析它的穩定性。該系統的微分方程是：

式中α為正的常數。如果取零解x₁＝x₂＝0為無擾運動，那麼式(3)即為對應的受擾運動微分方程。如果選函數V(x₁，x₂)=x₁²+x₂²，由於受擾運動微分方程(3)，轒[x₁(t)，x₂(t)]=2x₁ẋ₁+2x₂ẋ₂=-2α(x₁²+x₂²)²。因為V不顯含時間t，又有連續性，所以是一個具有無窮小上界的正的定號函數，而其導數轒是負的定號函數。因而所構造的函數V滿足裡雅普諾夫定理的無擾運動漸近穩定條件。

　　裡雅普諾夫函數V有比較明確的幾何意義。對於相空間，函數V(x₁，x₂)表示空間中點(x₁，x₂)到原點(0，0)之間距離的度量，即在原點(0，0)，函數V(0，0)＝0；而當x₁≠0，x₂≠0時，函數V(x₁，x₂)＞0。由於受擾運動微分方程，轒[x₁(t)，x₂(t)]＜0，所以空間中的瞬時點[x₁(t)，x₂(t)]到原點(0，0)之間的距離將隨著時間t的不斷增加而連續地減小，即當t→∞時，x₁(t)→0，x₂(t)→0。這就是裡雅普諾夫漸近穩定性定理的直觀意義（圖2）。

　　按首次近似判別穩定性　下面分析一類非線性定常系統，它可用下面的方程來描述：

ẋ=Ax+f(x)，　　　　　　　　(4)

式中A是常矩陣；x是n維狀態矢量，f(x)是n維矢量函數，它的每一個分量在區域Ω內可展成x的冪級數，且展開式的起始項不低於二次。當略去非線性項f(x)後，可得式(4)的首次近似方程ẋ=Ax，其特征方程為│λI－A│＝0（I為單位矩陣），它的展開式為一實系數多項式：

　　　a₀λⁿ+a₁λ^n-1+…+a_n-1λ+а_n=0　(a₀＞0)。(5)

　　裡雅普諾夫提出按首次近似判別非線性系統式(4)的穩定性的定理，即裡雅普諾夫判別定理。它可表述為：如果首次近似的特征方程的一切根都有負實部，則無擾運動穩定且漸近穩定；如果至少有一個正實部的根，則不穩定。這些結論同方程(4)的高階小項f(x)無關。如果沒有正實部的根，而有實部取零值的根，則系統的穩定性或不穩定性都將同方程(4)的高階小項的選擇有關。因此，對於非線性系統(4)，穩定性的研究，可分為兩類：非臨界情況和臨界情況。前者可按首次近似的分析來解決，而後者還要考查非線性的高階小項才可能解決。

　　下面介紹兩個穩定性判據。為瞭說明問題，首先由特征方程式(5)的系數以及兩行交叉相乘的方法，求出勞思陣列：

其中b₁=(a₁a₂-a₀a₃)/a₁，b₂=(a₁a₄-a₀a₅)/a₁，…；

　　c₁=(b₁a₃-a₁b₂)/b₁，c₂=(b₁a₅-a₁b₃)/b₁，…。

　　①勞思穩定性判別法　式(5)的一切根都具有負實部（穩定根）的充分必要條件是：在勞思陣列(6)中，第一列的各項都取正號。

　　②赫維茨穩定性判別準則　式(5)的一切根都具有負實部（穩定根）的充分必要條件是：赫維茨行列式(7)都大於零。

　　因為上述兩個穩定性條件是等價的，所以通常就稱為勞思－赫維茨判據。

　　發展動向　運動穩定性的理論研究和應用已經有瞭很大進展。它是當前兩個新技術領域（大系統的穩定性和空間飛行器姿態動力學）發展的重要基礎之一。因此，隨著系統的大型化和復雜化，運動穩定性的研究也就更為急需。在大型人造衛星和航天器的設計中，如果考慮液體晃動、結構變形、撓性附件的伸展、失重、光壓和溫度效應的影響，飛行器的姿態穩定性就可能成為姿態控制的一個關鍵性問題。另外，在理論研究中，也把運動穩定性視為力學和應用數學的一個分支。假如能引進現代數學的某些方法（算符理論和拓撲原則）來推廣穩定性的概念，就有可能取得一些新的成果。當前，電子計算機在理論研究中的廣泛應用，也是運動穩定性理論研究現代化的一種動向。