哈密頓－雅可比方程

　　分析力學中求解動力學問題的一個方程，它把質點系動力學中的動力方程用偏微分方程的形式來表示。對於N自由度的完整系統，此方程可寫作：

，(1)

式中 H>＝ T ₂－ T ₀＋ V是哈密頓函數(見 正則方程)，其中各 廣義動量 p_i必須用 來代替， S稱哈密頓主函數。方程　(1)是 W.R.哈密頓於1834年發表的，以此方程求解動力學問題，尚需用1837年建立的雅可比定理，故方程(1)稱為哈密頓－雅可比方程。

　　建立哈密頓－雅可比方程的方法，對保守系統(H=E)可從系統的總機械能E的表示式T+V入手。例如，質量為m的質點在重力場內做拋射體運動，其機械能(見能)可寫作：

將 等代入並利用式(1)，得：

。

又如，行星繞太陽運轉的哈密頓函數為：

，

式中 m為行星的質量； μ＝ G( m_S+ m)， m _S為太陽質量； G為萬有引力常數； λ和 θ分別表示行星的黃經和黃緯。用 代換，得：

　　雅可比定理可表述為：不論用何種方法，若自方程(1)求出包含N個任意常數(α₁，α₂，…，α_N)的一個解(稱為全積分）S(q₁，q₂，…，q_N；α₁，α₂，…，α_N；t)（簡寫為S），則所給力學問題的正則方程的解就是：

。　　(2)

最後尚需將2N個積分常數α_i，β_i(i=1，2，…，N)用初始條件表示出來。

　　對於保守系統，H＝E(常量，可令為α₁)，於是積分方程(1)，得：

　　　　　　　　　S＝-α₁t+S₁，式中S₁不再含時間t。

　　如果H中不含q_i，則q_i為可遺坐標，因之有積分p_i＝α_i（常量）。由方程(2)的第二式積分後便有：

　　　　　　　S=α_iq_i+S₂　(i≠1)，式中S₂不再含q_i。

　　結合以上兩種情況，對於具有r個可遺坐標（設為q₂，q₃，…，q_r+1）的保守系統，S可寫為：

式中 S_m( q， α)為除時間 t和可遺坐標 q ₂，…， q_r+1以外其他各 q， α的函數。

　　對於工程上的保守系統，不宜采用此法，因為推導繁瑣，但它對天體力學的攝動法大有幫助。若用算符

代替 p _x， p _y， p_z，再將機械能 E用 代替，則方程式(1)就變成波動力學中的薛定諤方程：

式中 h為普朗克常數； Ψ為與 S對應的波函數。

　　

參考書目

　W.M.Smart，Celestial MechanicsSons，Glasgow，1953.

　汪傢訸編：《分析力學》，高等教育出版社，北京，1983。