邊界層方程數值解法-百科詞條

　　邊界層理論是德國L.普朗特在20世紀初建立起來的。當流體流經物體表面時，靠近壁面邊界很薄的一層，粘性效應很重要。利用粘性邊界層很薄的特點，可以把流體力學運動方程（即納維－斯托克斯方程）中量級較小的各項忽略掉，簡化成為邊界層方程。邊界層理論為粘性流體力學的應用開闢瞭廣闊的道路，在近代力學中起著重要的作用。

　　以平面問題為例：定常二維不可壓縮流的邊界層方程組，由一個連續性方程和兩個動量方程組成，即

式中 u、 v為沿著 x、 y方向上的速度分量； p、 ρ和 v分別表示壓力、密度和運動粘性系數。邊界條件要求在不滲透的固體表面上，兩個速度分量為零。在邊界層外緣， u漸近地等於外緣速度 u _e( x)，所以有：

　　　　(2)

另外，還要給定壓力梯度д p/д x。由於式(1c)中的壓力 p隻是 x的函數，它與外緣速度之間的關系為：

。

方程組(1)是非線性偏微分方程組，求解很困難，一般需用數值方法，這裡主要介紹相似性解法和差分解法。

　　相似性解法　其要點是引進無量綱相似參數，將偏微分方程轉換成常微分方程，然後再用數值方法求解。德國Н.佈拉西烏斯在1907年首次用此法解壓力為常數的平板繞流問題。在連續性方程中引進流函數Ψ，即u=дΨ/дy，v=-дΨ/дx，並定義一個相似參數

同時令

f( η) 為無量綱的流函數。速度分量 u、 v及其導數д u/д y和д ² u/д y ²均可以從 Ψ求出，而且都可以用函數 f( η)及其高階導數表示。最後，原方程組(1)變成一個三階常微分方程：

f^‴＋ff″＝0，　　　　　　(3)

對應於邊界條件(2)，要求 f(0)＝ f′(0)＝0， f′(∞)＝1。這是兩點邊值問題。一般的作法是先假設 f″(0)＝ α，從 η＝0的地方對方程(3)進行數值積分。當 η→∞時，要求 f′( η)→1。如果條件不能滿足，必須更改 α的初值，反復迭代到滿足 f′(∞)＝1的條件為止。但通過變數的轉換，也可將這個兩點邊值問題換成初值問題，求解時不需要反復迭代。令 ζ= α ^1/3 η， α仍然代表 f″(0)；再令 f( η)= α ^1/3 F( ζ)，則 f′( η)= α ^2/3 F′( ζ)， f″( η)= αF″( ζ)， f ^‴( η)= α ^4/3 F ^‴( ζ)。代入方程式(3)，得到一個同樣形式的方程：

　　　　　　F^‴(ζ)+F(ζ)F″(ζ)=0，(4)

但邊界條件有些不同，變成F(0)＝F′(0)＝0，F″(0)＝1三個初始條件，正好用數值積分直接求F(ζ)，而後利用f′(∞)=1=α^2/3F′(∞)求α，即

　　　　　　(5)

方程(4)的具體解法，是把它改為三個一階常微分方程，令F的一階導數為G，二階導數為H，則有：

　　　　　　F′＝G，G′＝H，H′＋FH＝0，　　　　(6)

F、G、H為三個未知變數，相應的初始條件為：F(0)＝0，G(0)＝0，H(0)＝1。這組一階常微分方程可用一般的數值積分法求解。

　　差分解法　這種解法是將微分算符近似地用差商代替，把微分方程改為差分方程然後再求解。在有壓力梯度的流動中，相似條件不能滿足。用前面相同的坐標變換，即

但此處應令

由於相似性假設不適用，流函數 f是 ξ、 η的函數。通過坐標轉換，方程(1b)變為：　

，　　(7)

式中 f′、 f″、 f ^‴均為 η的導數； f

為 ξ的導數；

為壓力梯度參數。差分－微分方程是將上式的 ξ導數項改用差分形式，而在 η方向仍保持微分形式。這樣，方程(7)變成在 η方向上的常微分方程，具有在 η＝0， η＝∞的兩點邊界條件，可用迭代法求解。近來，人們直接將邊界層方程的所有偏導數均用差分表示。這類差分法的格式很多（見有限差分方法），現以凱勒的差分格式為例。此法首先將原方程〔如方程(7)〕改寫成幾個一階偏微分方程組，而後將所有一階導數均用中心差分，給出具有二階精度的差分方法。現將 f( ξ， η)對 η的一階導數用 g( ξ， η)表示，二階導數用 h( ξ， η)表示。方程(7)可改為：