本構關係

　　反映物質宏觀性質的數學模型。最熟知的反映純力學性質的本構關係有胡克定律、牛頓粘性定律、聖維南理想塑性定律等；反映熱力學性質的有克拉珀龍理想氣體狀態方程、傅裏葉熱傳導方程等。把本構關係寫成具體的數學表達形式就是本構方程。在許多文獻中，往往都不把本構關係和本構方程區別開來。建立本構方程是理性力學研究的重要內容之一。

　　為確定物體在外部因素作用下的回應，除必須知道反映品質守恆、動量平衡、動量矩平衡、能量守恆等自然界普遍規律的基本本方程外，還須知道描述構成物體的物質屬性所特有的本構方程，才能在數學上得到封閉的方程組，並在一定的初始條件和邊界條件下把問題解決。因此，無論就物理或數學而言，刻畫物質性質的本構關系是必不可少的。

　　在建立物質的本構關系時，為瞭保證理論的正確性，必須遵循一定的公理，即所謂本構公理。例如，關於純力學物質理論的本構公理有：

　　①確定性公理　即物體中的物質點在每一時刻的應力完全由組成物體的全部物質點運動的全部歷史唯一地確定。

　　②局部作用公理　即假定離開物質點 X有限距離的其他物質點的運動與X上的應力無關。

　　③客觀性公理　即物質的性質不隨觀察者的變化而變化，或者說，本構關系對於剛性運動的參考標架（或參考系）具有不變性。

　　此外，還有坐標不變性公理，即本構關系應與坐標系無關。但若采用張量記法或抽象記法，這個公理就自然滿足。由於連續介質力學都采用張量記法，所以一般隻提到上述三個本構公理。若考慮更復雜的情況，需要更多的本構公理的限制。例如，對於熱力物質(見熱力物質理論)除瞭上述三個公理外，還應服從因果關系、確定性、等存在、物質不變性、記憶和相容性等公理。每個本構方程定義一種理想物質，也就是說，每種理想物質都有自己的本構方程。例如，胡克彈性固體的本構方程可表示為應力張量T_ij和應變張量E_kl之間呈線性關系：

　　　　　　　　　　　　　T_ij＝C_ijklE_kl，

式中C_ijkl稱為彈性常數張量。上式常稱為廣義胡克定律。對於各向同性的彈性固體，本構方程為：

　　　　　　　　　　　　T_ij＝λδ_ijE_kk+2μE_ij，

式中λ和μ為拉梅常數；δ_ij為克羅內克符號（見張量）。牛頓粘性流體的本構方程可表述為應力張量T_ij和變形速率張量D_kl之間呈線性關系：

　　　　　　　　　　　　　T_ij＝K_ijklD_kl，

式中K_ijkl稱為粘性系數張量。對於各向同性均勻牛頓流體，本構方程具有下列形式：

　　　　　　　　　　T_ij＝-pδ_ij＋λ^*δ_ijD_kk＋2μ^*D_ij，

式中p為壓力；λ^*和μ^*為粘性系數。

　　結合理論研究和實驗結果已對不少物質給出具體的本構方程。根據所研究的物質性質，本構方程可有各種不同形式。上述應力－應變關系和應力－變形速率關系是比較簡單的本構方程，還可有應力率－應變率形式的以及具有積分形式的本構方程。一般地把具有積分形式的本構方程的物質稱為積分型物質，例如有限線性粘彈性物質；而把應力化為應變張量和裡夫林－埃裡克森張量的函數的物質稱為微分型物質，例如裡夫林－埃裡克森物質（見純力學物質理論）。

　　理性力學除對本構關系進行極為一般的研究外，還對彈性物質、粘性物質、塑性物質、粘彈性物質、粘塑性物質、彈塑性物質以及熱和力耦合、電磁和力耦合、熱和力以及電磁耦合等物質的本構方程進行具體研究。

　　在對本構關系深入研究的基礎上，理性力學提出瞭一些新的理想物質，有的甚至發展成為譜系，如簡單物質譜系（見純力學物質理論），而且還提出瞭對整類物質進行描述和分析的有效方法。

　　

參考書目

　郭仲衡著：《非線性彈性理論》，科學出版社，北京，1980。

　德岡辰雄著，趙鎮、苗天德、程昌鈞譯：《理性連續介質力學入門》，科學出版，北京，1982。（德岡辰雄著：有理連続體力學入門（連載講座），《機械の研究》，1976～1977。）