微小粒子表現出的無規則運動。蘇格蘭植物學者R.佈朗1827年在顯微鏡下觀察到，水中的花粉和其他懸浮的類似大小的顆粒不停地作無規則的折線運動。以後，人們發現在溫度均勻和無外力作用的流體中都能觀察到微粒的這種運動，而把它稱為佈朗運動。在佈朗運動發現後的50年內，人們一直不瞭解這種運動的原因。1877年J.德耳索提出，這是由於微小顆粒受到其周圍媒質分子不平衡碰撞所致。直到1905年A.愛因斯坦發表瞭關於佈朗運動理論的論文，這個理論不僅在實驗上可以檢驗，而且把佈朗朗運動作為確定原子觀點的一個例子，成為分子運動論和統計力學發展的重要轉折點。隨後，M. von斯莫盧霍夫斯基(1906)和P.朗之萬(1908)等學者發表瞭他們的理論，以及J.B.佩蘭完成瞭他系統的實驗(1908)以後，才對佈朗運動這一典型的隨機過程有瞭清晰的解釋。解釋的大意是:微粒（直徑約10-7～10-5m）受到其周圍流體大數分子熱運動的不規則頻繁碰撞（液體分子對其碰撞每秒約1019次，氣體分子對其碰撞每秒約1015次），若某一瞬間在某一方面碰撞數大大超過其他方面的碰撞數，微粒就會產生一明顯位移。這種不平衡碰撞產生的力是一種漲落不定的凈作用力，它驅動著佈朗粒子作無規則的運動。
實驗中觀察到的佈朗運動是在兩次觀察時間間隔內的平均運動。附圖是顯微鏡下觀察到的佈朗粒子的運動，圖中黑點是每隔30秒記錄下的佈朗粒子的位置，其間聯線是佈朗粒子經過流體分子約1016次碰撞後的平均位移，這個位移同過去的歷史情況無關。設每隔τ秒測量一次粒子在水平面中位移在x方向的投影，當n很大時，在t＝nτ秒內的n次位移Δxi(i=1，2，……，n)滿足關系ΔxiΔxj>＝0，而顆粒總位移的二次方等於粒子在n次位移中(Δx2)的平均值的總和
它等價於大量的近獨立顆粒在 τ時間內位移二次方平均值的總和，這符合平衡統計的基本原理。
把佈朗運動看作為一種巨分子的熱運動，由於佈朗粒子相互碰撞的機會很小，可作為理想氣體巨分子系統看待，則在重力場中達到熱平衡後，它們的數密度按高度的分佈應遵從平衡統計的玻耳茲曼分佈，這已為佩蘭實驗所證實。佩蘭在實驗中測定的玻耳茲曼常數與現時公認的精確值是同數量級的。
愛因斯坦從對佈朗粒子位移分佈和粒子數密度分佈的研究，得到它們都滿足擴散方程。從最簡單的一維自由擴散方程入手，解得這兩種分佈都具有高斯誤差率的分佈函數形式，從而導出位移二次方平均值<x2>為
<x2>=2Dt。
式中D是擴散系數，t是時間。設t=τ，由前面所提到的原理可知，<x2>等價於<(Δx)2>。從漲落理論中佈朗粒子運動的朗之萬方程出發，在不出現外力（比如選擇粒子運動在水平面 x 方向的投影）時，應用維裡定理對大數粒子求平均，再應用能量均分定理，在宏觀短的時間（比如大於10-5秒）內，也可以導出上式，並算出
，此式稱為愛因斯坦關系。式中
k是玻耳茲曼常數，
T是熱力學溫度，
a是佈朗粒子半徑，
η是液體的粘滯系數。佩蘭的實驗證實瞭 <(Δ
x)
2>同
t和
T成正比，同
a和
η成反比。這就證實瞭：粒子的擴散實質是由於佈朗運動產生瞭位移。大數佈朗粒子在媒質中的遷移過程，就是擴散過程。
從佈朗粒子曲折的位移中可窺測分子熱運動的概貌，這對統計力學理論，特別是漲落理論的驗證，起過重要作用。
佈朗運動代表瞭一種隨機漲落現象，它的理論在其他許多領域也有重要應用。如對測量儀表測量精度限度的研究，對高倍放大的電訊電路中背景噪聲的研究等。在研究外界擾動對另一時刻物理量影響的因和果在時間上的聯系時，引進時間相關函數的一個典型而又簡單的途徑就是佈朗運動。