從集X到集Y的多值映射是一個對應規律F，按照這個規律，對於X的每個元素x，都能相應地得到Y的一個非空子集F(x)，稱為x<對於F的像。對於任何
⊂
X，集
稱為集
對於
F的像；按照
F(
X)⊂
Y或
F(
X)=
Y而說
F把
X映入或映成
Y。特別是，如果每個元素的像集都隻含有一個元素，那就是一個單值映射。空間與（單值）映射是拓撲學中兩個最原始的基本概念，拓撲學的基本問題──空間的拓撲分類問題，是基於同胚的概念提出來的。而同胚是單值映射，所以單值映射在拓撲學中的地位，顯然遠比多值映射的地位重要得多。實際上，提出多值映射的概念，出發點不是單純為瞭推廣，而是著眼於它對其他數學領域的應用。多值映射總是可以化成單值映射來考慮的，即是，如果用
2
Y表示
Y的所有非空子集的集合，那麼從
X到
Y的多值映射
F可以視為從
X到
2
Y的單值映射，記為
F：
X→
2
Y。因此，可以像單值映射一樣，對於任何
∈
2
Y定義它的逆像為
，所以對於任何
⊂
2
Y，有
。設
X和
Y都是
T
1拓撲空間，為瞭定義
F：
X→
2
Y的連續性，
2
Y中的拓撲結構是借助於
Y的拓撲結構
τ（
Y）給出的，通常有下面三種：對於任何
U⊂
Y，定義
，
於是以
為子基產生的拓撲結構稱為維托利斯拓撲，而以
|
或
為子基產生的拓撲結構則分別稱為上半連續拓撲和下半連續拓撲。在這些拓撲結構下，
F：
X→
2
Y(作為單值映射)的連續性分別稱為連續、上半連續或下半連續，即是，
F：
X→
2
Y稱為上半連續的，如果
；
F稱為下半連續的，如果
；
F稱為連續的，如果它既是上半連續又是下半連續的；這裡
F
-1＜
U＞
+稱為集
U的上逆像，而
F
-1＜
U＞
-稱為集
U的下逆像。子集空間
2
Y的拓撲結構對於由此展開的多值映射理論至關緊要，因此，對於子集空間拓撲結構的研究已經成為點集拓撲學中一個有趣的課題。此外，對於多值映射
F：
X→
2
Y還可以提出一個連續選擇的問題：在什麼條件下存在單值連續映射
f：
X→
Y，使得
?如果
F具有連續選擇，那麼與
F有關的應用問題幾乎都可以歸結為單值映射的相應問題。
多值映射的一般理論自然是單值映射相應理論的推廣，但前者顯然不如後者那麼豐富多彩。多值映射理論的重要性在於它對其他數學分支的應用，特別值得一提的，是多值映射的不動點理論對博弈論的完美應用。x∈X稱為F：X→2X的不動點，如果x∈F(x)。角谷靜夫於1941年首先把關於單值映射的佈勞威爾不動點定理推廣到多值映射，下面是一個等價形式：
角谷不動點定理 假設K⊂Rn是非空有界閉凸集，F：K→2K是上半連續多值映射，使得對每個p∈K，F(p)都是K的非空閉凸集，於是F有不動點。
命
，於是
K=Δ×Δ⊂
R
2
n是非空有界閉凸集。考慮雙線性函數
‖
α
ij‖為實矩陣。對於任何(
x，
y)∈
K，命
可以證明，
F(
x，
y)⊂
K是非空閉凸集，
F：
K→
2
K上半連續，所以據角谷定理知，存在(
)∈
K，使(
)∈
F(
)，即
從而
由於相反的不等式是自然成立的，這就證明瞭矩陣博弈的基本定理：存在
∈Δ，使得
現在角谷定理已經得到很大的推廣，在博弈論、泛函分析等分支都有廣泛而重要的應用。
參考書目
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E.Michael，A Survey of Continuous Selections，Lecture Notes in Math.，Vol.171，Springer-Verlag，Berlin，1970.
C.Berge，Topological Spaces，Oliver and Boyd，Edinbergh and London，1963.
C.Berge，Théorie Générale des Jeux à n Personnes，Gauthier-Villars，Paris，1957.