多元微積分學

　　關於多元函數的微積分學，是微積分學的一個組成部分。它是體現在一元函數的微分學和積分學中的基本概念和計算方法在應用到多元函數的情形的發展。在這發展中，基本概念都被推廣到多元的情形，而計算方法則被化歸到一元的情形。從而計算仍舊是在實數範圍內進行。這樣，多元微積分學的基本任務便在於，以一元微積分學為基礎，來闡述其中基本概念和計算的規律對於任意多個變數的函數仍然一致有效，同時分析由於變數個數的增多而帶來的特點。

　　把一元函數的研究究擴展到多元函數

的這兩個基本任務，都在 n=2的情形中便已表現出瞭它們的一般性；所以主要就二元函數 u= f( x， y)進行敘述，隻是在進一步展示新的特點有需要時才考慮 n=3的情形。

　　多元微分學　一元函數微分學到多元函數的擴展。

　　連續性　設在同一個過程中，變量u隨著變量x和y而變化，就稱u為x和y的一個函數，記為

。

這時 u的數值（的大小）便依賴於 x和 y的數值(的大小)，把它記為 f( x， y)，其中 f表示該依賴關系，即函數關系。這函數關系於是又表現為一個數量等式

。

這有序數組( x， y)在一個平面直角坐標系中代表一個動點 P，它的全部可能的位置形成一個平面點集 S。從而函數關系 f便把動點 P的每一個位置( x， y)對應到變量 u的一個惟一確定的數值（函數值） f( x， y)= f( P)。於是整個函數便表現為變量 u按照這個對應關系隨著動點 P在定義域 S上變化而變化：

。　　　(1)

這樣，二元函數的概念便同一元函數的一致。

　　如圖1

，當動點 P由一個位置 P( x， y)變到另一個位置 P ₁( x ₁ y ₁)時，這變化由它的位移向量

來刻畫，這變化的大小便由這向量的長度 來度量。相應的 u的變化 ，其大小由|Δ u|來度量。於是多元函數(1)在一點 P處的連續性也同一元函數的一致，即在 P ₁無限趨近於 P的過程中，｜Δ u｜隨著｜Δ P｜而無限變小。這就是說，對於每一個正數ε都存在一個正數 δ使得

。　　　(2)

　　這導致多元連續函數的基本性質也同一元連續函數的一樣：在一有界閉集S上處處連續的一個函數至少在某一點處達到最小值m，又至少在某一點處達到最大值M；其連續性在整個集合S上是一致的（即(2)中的δ不依賴於P而對於S上的每個點P都有效）；並且，如果S是連通的（即S上每兩點都能夠用完全位於S上的一條折線連接起來），則每一個中間值μ(m≤μ≤M)都是某一點處的函數值。

　　函數(1)的連續性，作為一個局部性質，它在S的每個內點處都可以分解成一元的情形。如圖2

，隻要函數(1)在一點 P的某個領域( δ)內處處連續，則（根據上述基本性質）必定在其內部的一個方鄰域[ δ]上一致連續，而在這個方鄰域上的變化量具有圖1所啟示的向量分解式 　

，　　　(3)

式中 ，

分別作為一元函數

　　　(4)

的變化量，其連續性分別關於 y或 x+Δ x是一致的（即相應於(2)中的 δ不依賴於 y或 x+Δ x）。

　　偏導數　連續性(2)的進一步研究，是要在變化量分解式(3)的基礎上，利用一元函數(4)來闡明，在｜ΔP｜趨向0的過程中，變化量Δu隨 Δx、Δy趨向0的依賴關系。這就要用到一元函數(4)的變化率，即導數g

( x)、 h ( y)。假定它們在 P( x， y)的附近都存在，並分別記為 f ( x， y)。 f ( x+Δ x， y)通常也寫成

這種對自變量之一(其餘作為參變量)的導數稱為偏導數。利用這些偏導數的存在和一元微分學的中值定理，可以把(3)寫成

，

式中 θ介於0到1之間， α為無限小量。當偏導數 f 連續時，可以進一步寫成

，　　　(5)

α、 β為無限小量。

　　全微分　分解式(5)表明，在點P處，變化量 Δu隨著Δx、Δy趨向0的過程中，存在著近似線性的依賴關系

，　　　(6)

式中主要部分的系數 A、 B不依賴於 Δ x、Δ y，而餘項部分的系數 α、 β是無限小量。對此我們說函數 u在點 P處是可微的，並稱這個線性主要部分為 u的一個(全)微分，且記為

。　　　(7)

但在關系(6)中令Δ x→0，Δ y＝0或Δ x＝0，Δ y→0，即可推出

所以隻要微分存在，它的系數就必然是偏導數，因而是惟一的。然而，在某些特殊情形，這些偏導數都存在，關系(6)卻不成立；所以，不同於一元函數的情形，隻有偏導數的存在還不能保證微分存在。

　　不過，公式(6)的推導已經表明，這些偏導數的連續性可以保證微分存在。這時就說函數是連續可微的。最基本的連續可微函數就是自變量本身作為P=(x，y)的函數：

。　　　(8)

這時 d x＝1·Δ x＋0·Δ y＝Δ x， d y＝0·Δ x＋1·Δ y＝Δ y。因此 u的微分可以寫成

。　　　(9)

這樣，微分的定義等式(7)就由微分與差分的關系變成瞭純粹是微分之間的關系。這微分關系式(9)以相同的線性系數代表著差分的近似關系(5)，並成為分解式(3)的分解過程的完成形式，微分形式。

　　變量替換　在微分形式(9)中，變量x、y既然當作動點P的函數，如(8)所示，它們也就是動點P在任一別的坐標系(r，s)中的坐標的函數：

。　　　(10)

　　假定這些坐標函數也在其定義域S′上是處處連續可微的，也就是說，出現在下列微分等式中的系數都是連續的：

　　　(11)

既然 u關於( x， y)連續可微，公式(5)便給出偏導數的連鎖法則：

　　　(12)

這些偏導數都是關於新變量( r， s)連續可微的函數。於是 u也關於( r， s)連續可微，因而結合(12)與(11)便得到

。

這表明微分形式(9)對於 x， y為任何連續可微的函數都成立。這稱為（一階）微分的形式不變性。

　　變量替換(10)規定瞭一個坐標平面上的動點P(x，y)隨著另一坐標平面上的動點Q(r，s)而變動，因而定義瞭一個函數T：P=T(Q)。這樣，函數組(10)便被表示成一個函數。它經過微分轉化成的線性（微分）方程組(11)可以縮寫成一個矩陣方程

。

這裡，偏導數所形成的矩陣稱為 雅可比矩陣。它是微分向量的系數矩陣，相當於一元函數情形的微分系數或導數，有時記為 T′。它的行列式稱為 雅可比行列式，常記為

。　　　(13)

當 J≠0 時，便意味著以它為系數行列式的微分方程組(11)和(12)都是可解的；而隱函數存在定理則在於斷言，這時函數方程組(10)也是可解的，即至少在相應的一對點 P、 Q的附近存在著反函數 Q= T ^-1( P)，它也是連續可微的，其微分便是(11)的解。於是，在這兩個點的鄰域內，兩種坐標之間存在著連續可微的一一對應關系（ x， y）↔（ r， s）。

　　如果(8)中的動點P是在一個三維坐標空間(r，s，t)中，則(10)中的函數應是三元的：

。

這不影響微分形式不變性。縮寫式仍是 P＝ T( Q)。這裡，雅可比矩陣則是

　　　(14)

而雅可比行列式則是二階餘子式：

這些雅可比行列式相當於 T的偏導數。

　　多元積分學　一元函數積分學到多元函數的擴展。

　　重積分　一元函數的定積分，作為黎曼積分和的極限，推廣到二元函數(1)幾乎是直接的。這裡，積分區間，作為自變量的變化范圍，換成瞭兩個區間X(α≤x≤A)和Y(b≤y≤B)，它們的乘積R=X×Y是包含有界閉區域S的（各邊平行於坐標軸的）最小的矩形（圖3

）。對於 R上不屬於 S的點，取函數值為0，並仿照一元的情形作黎曼和數

。

分劃(Δ)的細密程度由全部Δ x _i，Δ y _j的最大值‖Δ‖來度量。於是，可以像一元的情形一樣來定義二重積分

。

如果這個極限存在，就說函數 f在區域 S上是可積的。可積的一個充分必要條件仍然是，函數有界並且幾乎處處連續（即不連續點形成一個零測度集合）。不過，這裡的零測度集合，作為平面上的點集，是指能用總面積任意小的矩形序列覆蓋住。

　　在可積的前提下，二重積分可以寫成

，　　　(15)

內層積分以 y為參變量，在不可積（因而相應的 y值形成一個一維零測度集合）時算作0。

　　面積微分dR=dxdy，作為一個微小矩形的面積，在坐標變換(10)之下由這變換的微分形式(11)來確定，成為一個以向量

和 為一對鄰邊的平行四邊形的面積，即行列式

的絕對值：

。

這導致二重積分的換元公式

。　　　(16)

　　面積分　二重積分，作為關於面積微分的一種求和過程，可以推廣到空間中的一塊曲面S上，隻要這曲面是光滑的，即其上的動點P(x，y，z)的坐標能夠表示成某一平面矩形S

=( α≤ r≤ A)×( b≤ s≤ B)上的連續可微的函數，而以( r， s)作為 P的一種新的坐標（曲面坐標）。這裡 S 的微小矩形（Δ r）×（Δ s）對應著 S上的微小曲面四邊形 Δ S，後者的面積關於前者的面積 Δ rΔ s的線性主要部分便是曲面的面積微分 d S。它等於以切線向量

和 為一對鄰邊的平行四邊形的面積：

，

式中

，

。

。

從而面積分能夠表示成二重積分：

。　　　(17)

　　曲面S可以是逐片光滑的，積分便取為各片上的積分之和。

　　線積分　如果我們類似地考慮空間中一條光滑的(或逐段光滑的)曲線C上關於弧長的微分ds的積分

，

則有類似於(17)的結果：

但其實這種(第一型) 線積分本身就隻是一個直線段0≤ s≤ l上的一類通常的定積分（不考慮積分區間的定向）。如果我們考慮關於弧長微分 d s的向量形式｛ d x， d y， d z｝的積分

，

則這種（第二型）線積分是定積分的推廣。它可以寫成第一型的形式：

，　　　(19)

(這表明它是函數向量｛ u， v， w｝在切線方向上的投影的第一型線積分。但它原來的形式更直接地表現著作為全微分的逆運算的性質。

　　公式(15)～(19)表明，定積分在概念上的各種推廣，在計算上仍都能回到定積分。

　　基本公式　定積分，作為微分之逆，到各種積分的推廣，導致這互逆關系的基本公式(牛頓-萊佈尼茨公式)的推廣。這公式的意義在於，函數的導數經過積分運算之後，便消去導數中所含的微分運算而返回到原來函數的差分，起著化簡的作用。我們現在先考慮∂w/∂z，積分區域取為一個橢球體V。用R表示V在xy平面上的垂直投影，S₁和S₀表示上下邊

界面， S表示全部邊界面， 表示其單位外法向量（圖4）。如果這偏導數在 V上處處存在並且可積，則其三重積分可以像二重積分(15)那樣分解，然後通過牛頓-萊佈尼茨公式轉化為邊界 S上的曲面積分：

一般地，對於一塊逐片光滑的曲面 S所圍成的三維區域 V有

　　奧斯特羅格拉茨基公式：

，　　　(20)

隻要所含三個偏導數都在 V上處處存在並且可積。

　　取V=S₀×(0，1)，u=u(x，y)，υ =υ(x，y)，w=0，這公式就化成二維空間中的奧氏公式：

，　　　(21)

其中曲線 s，作為平面區域 S ₀的全部邊界，是逐段光滑的，它的切線的定向｛ d x， d y｝到 S ₀的外法線｛ d y，- d x｝的旋轉方向同正 y軸到正 x軸的一致。這個（法線形式的）曲線積分通常簡記為（切線形式）

，

從而(21)可以改變形式成為

　　格林公式：

，　　　(22)

由此能夠證得三維空間中的格林公式，亦即斯托克斯公式：

　　　(23)

其中逐段光滑曲線 s是逐片光滑曲面 S的全部邊界，二者的定向是協調的。這意思是： S的單位法向量

在組成 S的每一光滑片段上是隨起點( x， y， z)而連續變動的，它到這片區域的外法向量、再到邊界曲線的切線向量所構成的螺旋轉向同正 z軸到正 x軸、再到正 y軸的螺旋轉向是一致的，並且任何相鄰兩片段的定向在邊界曲線的公共部分上是相反（相消）的。

　　由這個公式推知，在開區域V內，若要一個帶連續系數的微分式Pdx+Qdy+Rdz恰好是某一函數的全微分，就必須它的系數滿足恒等式

隻要這些偏導數都是連續的。反之，當這些偏導數都是連續的並且滿足這些恒等式時，在 V的每一個（曲面）單連通的有界部分區域 V ₁（意即在其內的每一條光滑的簡單閉曲線都有一塊以它為全部邊界的光滑閉曲面）內都存在一個函數 U，它的全微分 d U恰好就是原來的微分式 P d x+ Qd y+ R d z。於是，在 V ₁內，對於每一條逐段光滑的曲線 A… B都有

　　　(24)

這樣，牛頓-萊佈尼茨公式就隨著積分概念經過各種推廣(20)～(24)之後，仍回到瞭它原來的形式。

　　歷史上，多元微積分學的基本概念都是在微分與積分的基本思想的應用中，與一元函數的合為一體，適應描述和分析物理現象和規律的需要而產生的。偏導數、重積分的樸素思想（I.牛頓，1687），二重積分及其累次積分與換元計算方法（L.歐拉，1769），三重積分及其累次積分與換元計算方法（J.-L.拉格朗日，1773）都是初期出現在力學研究的著作中，並不是有意識地要建立相關的數學理論。牛頓-萊佈尼茨公式的兩種形式(20)和(21)都延遲瞭一個時期才明確出現在熱傳導和電磁的研究中（M.B.奧斯特羅格拉茨基，1828；G.格林，1828），且是作為物理定理來理解的。變量替換中的雅可比行列式也延遲到微積分的理論分析開展起來以後，才獲得明確的概念和系統的研究（C.G.J.雅可比1833、1841，奧斯特羅格拉茨基1834），而變量替換中隱含著的曲線坐標則同時延遲到熱傳導和電磁的研究中問題求解的需要和物理意義的啟示達到相當明朗的程度，才獲得明確的概念和系統的研究（G.拉梅1833、1859）。隻有斯托克斯公式是作為格林公式的理論應用來敘述的（L.開爾文，1850；G.G.斯托克斯，1854）。不過這時微積分學已由於它的理論分析的發展而成為一門自立的學科瞭。

　　總的說來，多元微積分學是在微積分的基本思想的應用和發展中自然地、水到渠成般地形成起來的。