指數函數

　　基本初等函數之一。它的一般形式是y=a^x，式中a是一個正的常數。

　　指數函數的定義　設a為給定一個正的常數。表示式ax被稱為a的x次方。它是a的方冪概念的一般化。當x是正整數n時，aⁿ是n個a相乘的結果。當x是有理數m/n時(式中m與n為正整數)，a^m/n表示a的m次方再開n次方的結果。當x是一正無理數時，考慮一串正的有理數序列r₁，r₂，…，r_n，…使得當n趨於無窮時，r_n趨於x。這時把

的極限定義為 a^x的值。此外，約定： a ⁰＝1， a^x=1/ a ^–x。這樣一來， y= a^x在整個 實數集合上都有瞭定義。

指數函數的圖像

　　這裡的a稱為指數函數y=a^x的底。

　　指數函數的基本性質　指數函數y=a^x(a＞0)在全平面上有定義，並且函數值總大於零。

　　指數函數y=a^x當a＞1時是嚴格遞增函數，而當0＜a＜1時是嚴格遞減函數。總之，當a≠1時指數函數y=a^x是單調函數（見圖）。

　　指數函數有下列基本公式：a^x+y=a^xa ^y，也即自變量和的函數值等於相應自變量函數值的積。

　　指數函數是可微函數，並有公式：(a^x)′=a^xlna，式中lna為a的自然對數。

　　以e為底的指數函數　歐拉引進瞭數e：

　　e是一無理數。歐拉建議用e為底作指數運算或對數運算，這會帶來方便。以e為底的指數函數y=e^x有一個很特殊的性質：(e^x)′=e^x，即其導函數是它本身。