公理集合論中的一條重要的公理，簡記做AC。內容是：任意一個由若幹非空集合組成的集合S，都存在一種方法（函數）f，從S的每一集合中都能挑選出一個元素來。也就是說，對任意x∈S有f>(x)∈x, f稱作S的選擇函數。選擇公理是現代數學的一個基本原則和基本方法，數學的許多分支都引用並依賴選擇公理。
通常，人們在數學論證中自覺不自覺地使用選擇公理的方法，而從不懷疑其正確性。1890年，G.皮亞諾證明常微分方程解的存在性定理時對這一做法提出瞭懷疑：當S中含有無限多個非空集合時，從無限多非空集合中“一下子”作完無窮多次選擇的選擇函數f不一定總能找到。這一懷疑，立即引起重視。1904年，德國數學傢E.F.F.策梅洛在證明良序定理時第一次明確地提出瞭選擇公理。自20世紀初以來，許多數學傢對選擇公理進行深入研究，發現它與良序定理、乘積定理、極大原理、佐恩引理等成百個數學命題是等價的。
然而，選擇公理的合理性和正確性並沒有得到一致公認。反對者認為，既然選擇公理與良序定理等價，那麼選擇公理應該得出實數集合可良序，但至今人們沒有找到任何能使實數良序的方法。另一個反對的理由是，1924年S.巴拿赫和A.塔爾斯基使用選擇公理證明瞭分球悖論（把一個球切成有窮個片斷，然後再重新組合，可以得到兩個與原球有相同體積的球）。這樣，就不能再認為選擇公理是自然正確的瞭。1938年，K.哥德爾證明如果ZF一致則ZF＋AC一致；1963年，P.J.科恩證明如果ZF一致則ZF＋﹁AC也一致。這說明選擇公理對於ZF公理系統是獨立的，隻用ZF系統的公理既不能證明也不能否定選擇公理。
20世紀60年代以來，集合論研究者深入探討瞭一些與選擇公理對立的假設。J.邁切爾斯基等人提出一條相當基本的數學原理，稱為決定性公理，簡稱AD。但關於決定性公理的相對一致性研究一直沒有什麼結果，因此集合論研究者普遍隻把它當作一種工作假設。