運動形態急劇變化的複雜系統存在的在空間上局域、時間上壽命很長的規整結構。湍動的大氣，奔騰的河流，被磁場約束的高溫電離氣體，大量原子聚集的固體都是典型的複雜系統。認真觀察這些系統中的運動狀態，除可看到急劇變化的形態外，還會發現與之共存的長時間的局部的規整結構。這些結構被稱為相幹結構。孤立子就是一種特殊的相幹結構。造成這些結構存在的原因是非線性相互作用。
兩個KdV孤立子的碰撞圖
歷史上最有名的孤立子是所謂淺水波孤立子，又稱KdV方程孤立子。淺水波孤立子早在1834年就被英國工程師J.S.羅素觀察到。他在運河行船的前頭看到一個鼓出的孤立水峰，船停之後，水峰竟然保持原有形狀以勻速沿運河移動瞭數千米後才消失。羅素將之稱作“孤立波”，並認為它是流體方程的一個解。1895年兩位荷蘭數學傢D.J.科特韋格與G.de弗裡斯導出描述淺水單向運動的一維非線性偏微分方程即KdV方程：
式中
u=
u(
x,
t)表示任一點
x，任一時刻
t，水面偏離平衡面的高度。他們從方程中得出與羅素所描述的孤立波類似的解析解：
式中
v為常數，代表波包整體運動速度。當時科學界為線性理論的統治，解的疊加仍為解的概念根深蒂固，有人懷疑兩個這樣的孤立波疊加後其形狀和特性會完全被破壞，認為這樣的解“不穩定”、毫無物理意義，從而此一重要結果為後人淡忘。直到1965年，美國物理學傢
M.D.克魯斯卡爾與
N.J.紮佈斯基用計算機模擬有名的FPU問題的連續極限的初邊值問題時，發現瞭FPU問題的一類解可由KdV方程的解描述，而且KdV方程的孤立波解在相互作用後不改變各自的波形和速度，具有類似於粒子碰撞的性質，他們將這種孤立波命名為
孤立子（見圖）。圖中表示兩個KdV孤立子從左向右運動，二者振幅比為8∶2，從而傳播速度比為2∶1，經過一段時間，快孤立子追趕上慢孤立子，碰撞後快者越過慢者，二者均保持原來的形狀。圖a～e顯示瞭兩個孤立子的碰撞過程。
KdV方程孤立子的發現，推動瞭非線性問題可積系統極端普遍方法的建立（見非線性科學）。
理論研究上最清楚的孤立子迄今都還是空間一維的。但實驗室或自然界中的相幹結構，如流體和等離子體中的渦旋、大氣中的臺風等，其維數明顯高於一維。建立這些相幹結構或高維孤立子的理論，從實驗和理論上探索它們之間相互作用的規律，是當前相幹結構和孤立子研究的重要課題。由孤立子研究而推動的可積系統數學理論研究，正在經典系統的可積性理論、非線性偏微分方程的精確求解方法等方向上深入。
推薦書目
谷超豪. 孤立子理論和應用. 杭州: 浙江科學技術出版社, 1990.