位勢論

　　將物理中位元勢概念一般化的一種數學理論。它與函數論、偏微分方程、調和分析、概率論等領域緊密相關。

　　設Ω是n維(n≥2)歐幾裏得空間Rⁿ中的一個區域，μ是拉東測度，它的支柱S(<μ)3Ω，K(x,y)是定義在Ω×Ω上的一個廣義實函數，那麼

稱為測度 μ的 K位勢，式中 K( x, y)稱為位勢 的 核函數。

　　用|·|表示Rⁿ的范數。當Ω=R²，

時， 稱為平面上的對數位勢。當 Ω= R ⁿ( n≥3),0＜ α＜ n, 時， U ^μ _K( x)稱為 μ的 α位勢(或 裡斯位勢)，此時 U_K^μ也記為 U ^μ _α。特別 α＝2時， U ^μ _z稱為 牛頓位勢。

　　位勢理論的目的之一在於建立各種位勢特別是位勢U^μ_α的基本性質。

　　第一極大值原理　當0＜α≤2,μ≥0時，若U^μ_α(x)≤M關於測度μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。

　　當2＜α＜n時，第一極大值原理不成立。

　　廣義極大值原理　當0＜α＜n時，若U_α^μ(x)≤M在S(μ)上成立，則U_α^μ(x)≤2^n－αM處處成立。

　　第二極大值原理　又稱控制原理。設μ≥0是能量有限的測度，λ≥0是任意測度，若U₂^μ(x)≤U₂^λ(x)關於測度μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。

　　當0＜α＜2時，若U^μ_α(x)關於μ≥0幾乎處處有限，f(x)是α上調和函數，且U_α^μ(x)≤f(x)關於測度μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。

　　唯一性原理　設0＜α＜n, μ₁, μ₂是絕對連續的非負測度，若U _α^μ₁(x)=U _α^μ₂(x)在S(μ₁)∪S(μ₂)上似乎處處成立，則μ₁＝μ₂。

　　位勢U^μ_α(x)還有許多其他性質，有所謂下包絡原理、連續性原理、能量原理以及掃除原理等。

　　與位勢函數有緊密聯系的是Rⁿ中或黎曼曲面上的一般狄利克雷問題及狄利克雷原理，關於這些問題的研究也是位勢理論的重要組成部分。

　　20世紀下半葉，又發展瞭局部緊阿貝爾群上的位勢理論以及公理化位勢理論。