微分流形

　　一類重要的拓撲空間，主要特徵是在每一點的鄰域內有坐標系，並且在鄰域重疊部分的座標變換是可微的。具體地說，設M是豪斯多夫拓撲空間。如果對每一點p∈M，都有一個開鄰域U以及從U到R^n>的一個開子集的同胚h:U→h(U)1Rⁿ，則稱M是一個n維拓撲流形。這裡的(U,h)稱為點p的一個坐標卡，並且對於任意的q∈U，把h(q)在Rⁿ中的分量稱為點q的坐標，xⁱ(q)＝(h(q))ⁱ，同時把(U;xⁱ)稱為拓撲流形M的一個局部坐標系。如果M是一個n維拓撲流形，並且有M的坐標卡的一個集合A＝{(U_α,h_α):α∈Ⅰ}，使得{U_α}構成M的開覆蓋，

，而且在 U _α∩ U _β≠ø時坐標變換函數 x _βⁱ＝( h _β˚ h _α ⁻¹) ⁱ( x ¹ _α,…, x ⁿ _α)( i=1,2,…, n) 都是 h_α (U _α∩ U _β)上的，有直到 k次的各階連續偏導數的函數，則稱( M,A)為 C^k微分流形，且稱A為 M上的一個 C^k微分結構。 C ^∞微分流形又稱 光滑流形。

　　如果M是一個光滑流形，並且能夠取出M的容許的坐標卡集A₁＝{(V_α,h_α):α∈Ⅰ}，使得{V_α}構成M的開覆蓋，並且對於V_α∩V_β≠ø，坐標變換h_β˚h_α⁻¹的雅可比矩陣在V_α∩V_β上處處是正的，則稱M是可定向的。

　　同一個拓撲流形可能具有本質上不同的光滑結構，1957年J.W.米爾諾在七維球面S⁷上首先發現這個事實。在20世紀80年代，M.H.弗裡德曼等證明4維歐氏空間有多種光滑結構，而在其他維數的歐氏空間中隻有唯一的微分結構。

　　光滑結構的主要功能是在光滑流形上可以定義光滑函數、切向量、切向量場和各階張量場等數學對象。設f:M → R是M上的函數，若在點p∈M有容許的坐標卡(U,h)，使僅f˚h⁻¹是Rⁿ的開子集h(U)上的光滑函數，則稱f在點p是光滑的。在點p的光滑函數的全體構成的集合記為C_p^∞。若f在M上每一點處都是光滑的，則稱f是M上的光滑函數。M上的光滑函數的全體構成的集合記為C^∞(M)，設p∈M,M在點p的一個切向量v是指映射v:C_p^∞ →R，它滿足條件①v(f＋λg)＝v(f)＋λv(g)；②v(f·g)＝f(p)·v(g)＋g(p)·v(f)，式中f,g∈C_p^∞,λ∈R。M在點p的切向量全體構成的集合記為T_pM，它是一個向量空間，若(xⁱ)是p點附近的局部坐標系，則

構成 T _p M的基底。切空間 T _p M的對偶空間記為 T_p ^* M，它的元素是 T _p M上的線性函數，稱為在點 p的 餘切向量。 T _p* M的基底由d x ⁱ( i=1,2,…, n)組成。

　　M上的光滑切向量場X在局部坐標系(xⁱ)下可以表示為

，式中 X ⁱ是坐標域上的光滑函數。同樣， M上的光滑餘切向量場是 ，式中 α _i是坐標域上的光滑函數，它也稱為 M上的 一次微分式。更一般地， M上的 k次外微分式 ω的局部坐標表達式是 ω＝ ω _i1…ikd x ⁱ¹/…/d x ^ik 式中 ω _{i 1 … i k}是坐標域上的光滑函數。

　　光滑流形是許多數學分支的基礎。例如在有第二可數公理的光滑流形上存在黎曼度量，而指定瞭黎曼度量的流形稱為黎曼流形，該流形上展開的幾何就是黎曼幾何（見黎曼幾何學）。在光滑流形上可以展開大范圍分析的研究，其中特別著名的是德拉姆定理：光滑流形上由閉微分式給出的德拉姆上同調群與流形本身的（拓撲）上同調群是同構的。數學物理和力學的大范圍研究也都是建立在微分流形理論的基礎上的。