研究不連續現象的一個新興數學分支，也是一般形態學的一種理論，能為自然界中形態的發生和演化提供數學模型。突變論在數學上屬於微分流形拓撲學的一個分支，是關於奇點的理論。因為英文 catastrophe一詞的原意為突然來臨的災禍，所以也有把它譯作災變論。突變論一般並不給出產生突變機制的假設，而是提供一個合理的數學模型來描述現實世界中產生的突變現象，對它進行分類，使之系統化。突變論特別適用於研究內部作用尚屬未知、但已觀察到有不連續現象的系統。
簡史 突變論是20世紀60年代末法國數學傢R.托姆為瞭解釋胚胎學中的成胚過程而提出來的。1967年托姆發表《形態發生動力學》一文，闡述突變論的基本思想，1969年發表《生物學中的拓撲模型》，為突變論奠定瞭基礎。1972年發表專著《結構穩定與形態發生》，系統地闡述瞭突變論。70年代以來，E.C.塞曼等人提出著名的突變機構，進一步發展瞭突變論，並把它應用到物理學、生物學、生態學、醫學、經濟學和社會學等各個方面，產生瞭很大影響。
研究方法 從I.牛頓和G.W.萊佈尼茲時代以來得到很大發展的微積分學，一般隻考慮光滑的連續變化的過程，而突變論則研究跳躍式轉變、不連續過程和突發的質變。突變論的基礎是結構穩定性。結構穩定性反映同種物體在形態上千差萬別中的相似性。例如，人的面貌雖因歲月流逝而發生變化，但仍存在區別於他人的特征。結構穩定的喪失，就是突變的開始。突變論的基本概念是靜態模型，它把形態按結構穩定特征分類。至於描述結構變化的動力學理論，至今仍不完備。
突變論的數學基礎是奇點理論和分岔理論。最原始的奇點是微積分中實變函數的極大極小點(臨界點)。這種函數可看成是實數空間
R
1(坐標
x)到實數空間
R
1(坐標
y)的映射。而平面(
x
1,
x2)到平面(
y
1,
y2)的光滑映射可用一對函數
y
1＝
f
1(
x
1,
x
2),
y
2＝
f
2(
x
1,
x
2)表示。1955年H.惠特尼在研究這種映射的特點時，得出兩類一般奇點。一類是折疊,可用公式
y1＝
x
1
2,
y2＝
x2表示。把球面投射到平面上,赤道上的點產生的奇點就是這種奇點。另一類是尖點,局部坐標可寫成
y1＝
x
1
3+
x
1
x2，y2＝
x2。把空間曲面
y
1＝
x
1
3+
x1x2投影到平面(
y1，y2)上,平面上有一半立方拋物線，在原點處有一個尖點 (見圖)。曲線把平面分成兩部分,較小部分的原像均由三點構成，而較大部分隻由一個點構成。在尖點處映射引起突變，這是突變論所研究的最常見的一種突變。惠特尼證明，尖點是穩定的，也就是在這種映射附近的映射在適當的地方也有同類的奇點。
托姆把惠特尼的奇點理論加以推廣，應用到突變論中。他研究Rn+r→Rr的奇點分類問題。這裡n是描述系統狀態的參數（稱為狀態參數或內部參數）的數目,而r是控制參數（又稱外部參數）的數目。隨著控制參數的改變，狀態參數可能產生突變，在突變處控制參數值稱為突變點。通常n可以任意大,但Rr可取作四維時空歐氏空間，反映時空中進行的控制過程。
靜態模型 靜態模型是一族勢函數fu:X→Rn,其中X是狀態空間Rn的子集,包含原點的鄰域，參數u屬於控制空間Rr中原點的鄰域U。狀態空間Rn可用與過程有關的狀態參數來表示，控制空間Rr則可用控制過程中控制參數來描述。當維數r≤4時，具有標準勢函數的靜態模型就是初等突變。它可作為各種自然過程的定性模型。靜態模型已被推廣成代謝模型。表中列出瞭所有初等突變。
餘維數r≤4的初等突變
除瞭基本的初等突變外，托姆還給出高階突變，為建立一般突變論奠定瞭初步的基礎。他描述的雞胚發育模型和蟹狀星雲、超新星爆炸殘餘模型都屬於一般突變論的范疇，但還沒有建立起一般的數學理論。
應用 突變論應用范圍極為廣泛。在數學、力學和物理學中,借助突變論不僅能加深對已有定律的認識,而且還能得到一些新的成果。例如，利用突變論找到瞭光的焦散面的全部可能的形式。在生物學和社會學中，許多現象很難用其他數學方法處理，但用突變論可得到理想的數學模型。如捕食者與被捕食者系統中群體消長情況，用微分方程不能得出滿意的解釋，而用突變論預測的結果卻與實驗符合。利用突變論有可能預測系統的許多定性性態，甚至在不知道系統的描述采用什麼樣的微分方程,或者不知道怎樣求解這些微分方程的情況下,也能獲得結果。而且這種預測是在少數幾個假設的基礎上完成的。例如對於胚胎形成過程、心臟搏動、大腦機制、船舶穩定性等都曾用突變論建立過相當的數學模型，並取得一定的成效。
參考書目
P.T.桑德斯著，凌復華譯：《災變理論入門》，上海科學技術文獻出版社,上海,1983。（P.T. Saunders, An Introduction to Catastrophe Theory，Cambridge Univ.Press,1980.）
R.Thom，Stabilité Structurelle et Morphogénèse，Reading, Mass., Benjamin,1972.