非合作對策

　　對策論中局中人在選擇各自策略時不結成任何聯盟的對策問題。非合作對策按局中人數可分為二人對策和多人對策，按局中人的支付（或得失）之和可分為零和對策和非零和對策。

　　二人零和對策　對策論中理論最簡單又最完善的部分是二人零和對策，它是其他各部分理論的基礎。許多遊戲都可看作是二人零和對策的例子。在一個二人對策問題中(例如兩人進行對抗性競賽)，參加者分別為局中人甲和乙,他們各自有自己己的策略,即在對抗競賽中所采取的行動方案。設甲有m個策略，乙有п個策略。當甲選取第i個策略而乙選取第j個策略時便形成一種局勢。此時甲、乙雙方會有贏得或損失。甲、乙雙方得失之和為零，即一方所得等於另一方所失。若甲所得為ɑ_ij=f(i，j)(i=1,…,m；j=1,…,п)，乙所得為-ɑ_ij,則ɑ_ij為甲取第i個策略、乙取第j個策略時甲的支付（或贏得）。甲的支付可列成如下的矩陣表：

並可用矩陣方法進行處理。因此這類對策也稱為二人零和矩陣對策。對策論的基本問題是局中人采取何種策略才能使自己贏得最多（或損失最少）。

　　局中人甲也可以概率α₁選取第一個策略，…，以概率 α_i選取第i個策略，…，最後以概率α_m選取第m個策略。這樣得到一個概率向量α=(α₁,…，α_i,…，α_m)，其中α_i≥0，i=1,…,m，

α稱為甲的一個混合策略，而原來的 m種策略稱為甲的純策略。同樣可引進局中人乙的混合策略 β=( β ₁，…， β_j，…, β_n)。若用 X ₁、 X ₂分別代表甲、乙的混合策略全體的集，並分別稱 X ₁, X ₂為甲、乙的策略空間（以下在不產生誤解的情況下稱混合策略為策略）。當甲取策略α而乙取策略 β時，甲的期望支付(贏得)是 ，記作 K ₁(α， β),並稱為甲的支付函數。顯然乙的支付函數為- K ₁(α, β)，其中 α∈ X ₁， β∈ X ₂。

　　對二人零和對策,若有策略對(戩,鎎)便形成一種局勢。若對甲的一切策略α ∈X₁,總有K₁(戩,鎎)≥K₁(α,鎎)，則戩稱為甲的一個優策略。同樣，若對乙的一切策略β∈X₂，也總有-K₁(戩,鎎)≥-K₁(􀌝,β)或K₁(戩,鎎)≥或K₁(戩,β),則鎎稱為乙的優策略，而(􀌝,􀌋)稱為對策的優策略對，或稱為鞍點,這是二人零和對策的解。顯然在鞍點(􀌝,􀌋)對一切α∈X₁，β∈X₂，均滿足

K₁(α ,鎎)≤K₁(戩,鎎)≤K₁(戩,β)

此式稱為諾伊曼鞍點定理或最小最大定理，它等價於方程

計算鞍點有多種方法，如利用線性規劃中的單純形法等。

　　多人非合作對策　與二人零和對策理論相似，多人非合作對策中討論最多的是正規型的。若把幾個參與者順次記為局中人1，2，…，n，並設局中人i的策略全體的集為x_i(i=1,…,n)，則稱x_i為局中人i的策略空間。當每個局中人各自選擇一個策略x_i∈x_i(i=1,…,n),便形成一種局勢（x₁,…,x_n）。此時局中人i的支付可用函數K_i(x₁，…,x_n)表示。它是定義在乘積空間

上的實值函數、若 （常數）,則稱此對策為常和對策；特別當c=0時,稱此 n人對策為 n人零和對策，若 n=2,即為上述的二人零和對策。在非合作對策中，局中人在選擇各自策略時，根據對策的規則，不應結成任何聯盟；否則，就會變成“合作對策”。對一個非合作的多人對策，若有策略組（X̂ ₁，…,X̂ _n）,對局中人 i的一切策略 x_i∈ X_i，總有 K_i(X̂ ₁,…,X̂ _{i -1},X̂ _i,X̂ _{i +1},…,X̂ _n)≥ K_i(X̂ ₁,…,X̂ _{i -1},X̂ _i,X̂ _{i +1},…,X̂ _n)則X̂ _i對局中人 i來說是宜取策略。若對 i=1，…， n,均有宜取策略X̂ _i,則稱(X̂ ₁,…,X̂ _i,…,X̂ _n)為多人非合作對策的一個平衡點。J.納什證明，在一定條件下有平衡點存在。 n=2時,平衡點就是二人零和對策中的鞍點。多人非合作對策平衡點的計算尚無有效的方法。