流體動力學基本方程

　　將品質、動量和能量守恆定律用於流體運動所得到的聯繫流體速度、壓力、密度和溫度等物理量的關係式。對於系統和控制體都可以建立流體動力學基本方程。系統是確定不變的物質的組合；而控制體是相對於某一坐標系固定不變的空間體積，它的邊界面稱為控制面。流體動力學中討論的基本方程多數是對控制體建立的。基本方程有積分形式和微分形式兩種。前者通過對控制體和控制面的積分而得到流體諸物理量之間的積分關係式；後者通過對微元控制體或系統直接建立方程而得到任意空間點上流體諸物理量之間的微微分關系式。求解積分形式基本方程可以得到總體性能關系，如流體與物體之間作用的合力和總的能量交換等；求解微分形式基本方程或求解對微元控制體建立的積分形式基本方程，可以得到流場細節，即各空間點上流體的物理量。

　　積分形式基本方程　主要有連續方程、動量方程、動量矩方程和能量方程。

　　連續方程　單位時間流入控制體的質量等於控制體內質量的增加。它是由質量守恒定律得到的，其數學表達式為

式中 v為速度； ρ為密度； τ為控制體體積； A為控制面面積； n為 d A控制面處法線方向單位向量（圖1）。定常流動時上等式右邊為零。這時如截取一段流管（見 流體運動學）作為控制面(圖2），則有下述連續方程：

ρ₁v₁A₁=ρ₂v₂A₂

式中ρ₁、v₁、ρ₂、v₂分別為A₁和A₂截面上的流體平均密度和速度。

　　動量方程　單位時間內，流入控制體的動量與作用於控制面和控制體上的外力之和，等於控制體內動量的增加。它是由動量守恒定律得到的，其數學表達式為：

式中 為外部作用於 d A控制面上單位面積上的力； ┃為外部作用於dτ控制體內單位質量流體上的力；通常就是重力。定常流動時，上等式右邊為零。動量方程用於確定流體與其邊界之間的作用力。

　　動量矩方程　單位時間內，流入控制體的動量與作用於控制體和控制面上的外力對某一參考點的動量矩之和，等於控制體內對同一點的動量矩的增加。它是由動量矩守恒定律得到的，其數學表達式為　

式中 r為以某一參考點“0”為原點到 d A控制面或dτ控制體的向徑。定常流動時，上等式右邊為零。將它用於透平機械可得 透平機械基本方程。

　　能量方程　單位時間內，流入控制體的各種能量與外力所作的功之和，等於控制體內能量的增加。它是由能量守恒定律得到的，其數學表達式為

式中 q _λ為單位時間內單位面積的 d A控制面上得到的傳導熱； q _R為單位時間內單位質量的dτ控制體上得到的非傳導熱，包括輻射熱、化學反應生成熱等； e為單位質量流體的廣義內能，包括 熱力學中的內能、電磁能等。對於重力場中無粘性流體的定常絕熱流動，上式可化簡為 伯努利方程的形式

式中 ｐ為壓力； z為距參考水平面的高度； 可視為單位質量流體的總能量，即內能、動能、壓力勢能和位能之和。這一方程的物理意義是：單位時間流進和流出控制面的總能量相等。

　　微分形式基本方程　主要有連續方程、運動方程和能量方程。

　　連續方程　對流體微團應用質量守恒定律得到的方程。它在直角坐標系中的表達式為

式中 u、 v、 w分別為 x、 y、 z方向的速度分量。

　　運動方程　對流體微團應用牛頓第二定律得到的方程。無粘性流體的運動方程就是歐拉方程，牛頓流體的運動方程就是納維－斯托克斯方程。

　　能量方程　對流體微團應用能量守恒定律得到的方程。無粘性流體的能量方程為

這表示流體微團的內能增量與可逆的體積膨脹功之和等於其輻射熱。式中 為質點導數算子。牛頓流體的能量方程在直角坐標系中的表達式為

這表示流體微團的內能增量及可逆的體積膨脹功之和等於其輻射熱、傳導熱及粘性耗散功之和。式中 k為熱導率； T為溫度；Ф為耗散函數，表示單位時間單位質量流體由於粘性而耗散的機械功，它轉化為流體內能。

　　上述微分形式基本方程本身包含的未知函數數目多於獨立方程的個數，所以求解時還必須引入補充方程。通常，這些補充方程也稱為基本方程。

參考書目

　錢學森著，徐華舫譯：《氣體動力學諸方程》，科學出版社，北京，1966。(H.W.Emmons，Fundmentals of Gas Dynamics，Section A，Oxford Univ.Press，Oxford，1958.)

　G.K.Batchelor，An Introduction to Fluid Dynamics，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1970.