在彈性力學中，為方便求解，常把應力或位移用幾個任意的或某種特殊類型的函數表示，這些函數通常叫作應力函數或位移函數。
應力函數 最有名的應力函數是彈性力學平面問題中的艾裏應力函數。如果沒有體力，平面中的三個應力分量σxx、σyy、τ
。 (1)
根據方程(1)，可將應力分量用一個函數
φ（
x，y）表示為：
。 (2)
φ便是艾裡應力函數。對於均勻和各向同性的物體，
φ是一個雙調和函數，即它滿足下列雙調和方程：
ΔΔφ=0， (3)
式中
是平面的拉普拉斯算符。引入
φ後，平面問題原來的8個未知函數(兩個位移分量、三個應變分量和三個應力分量
σxx、
σyy、
τxy就歸結為一個函數
φ。這對求解具體問題很有好處。
在彈性柱體的扭轉問題中，剪應力分量τxz、τyz滿足下列平衡方程：
。 (4)
據此可將
τxz、
τyz用一個函數
Ψ(
x，y)表示為：
。 (5)
Ψ稱為普朗特應力函數。對於均勻和各向同性的柱體，
Ψ滿足下列方程：
ΔΨ=-2Gθ， (6)
式中 G為材料的剪切模量（見 材料的力學性能）； θ為單位長度的扭轉角。位移函數 在求解彈性力學的空間問題時，也可以用六個應力函數代替原來的六個應力分量，但好處不多。所以，一般多采用各種位移函數。對於均勻和各向同性彈性體，位移分量u1、u2、u3滿足下列平衡方程：
式中
是空間中的拉普拉斯算符；
ν為材料的泊松比；
G為剪切模量；
f
i為體力分量。方程(7)的解可以表達成多種形式。一種形式為：
式中
ψ
1、
ψ
2、
ψ
3、
φ四個函數滿足下列方程：
。 (9)
函數
ψ
1、
ψ
2、
ψ
3、
φ稱為佈森涅斯克-帕普科維奇-紐勃位移函數。彈性力學中許多空間問題的解都是從公式(8)推導出來的。
方程(7)還有另一種形式的解，即
式中
Fi滿足下列方程：
。 (11)
函數
F
1、
F
2、
F
3稱為佈森涅斯克-索米利亞納－伽遼金位移函數。對於回轉體的軸對稱問題，公式(10)可作許多簡化。取對稱軸為
z軸(
x
3軸)，記
r為所考慮點到
z軸的距離，並記位移在
r、
z軸上的投影分別為
u、
ω。若
f
1=
f
2=0，可取
F
1=
F
2=0，
F
3=
F(
r，
z)。這樣，由公式(10)可得到：
， (12)
式中
，即柱坐標中的拉普拉斯算符；
F滿足下列方程：
。 (13)
公式(12)中的函數F稱為樂甫位移函數。在求解軸對稱問題時，經常利用公式(12)。
在f1=f2=0的情況下，即使不是軸對稱問題，方程(7)的解也可用一組位移函數F、f表示如下：
式中
F、f滿足下列方程：
，Δf=0。 (15)
這組位移函數特別適用於求解無限體、半無限體和厚板等問題。