歐拉角

　　用來唯一地確定定點轉動剛體位置的三個一組獨立角參量，由章動角θ、進動角ψ和自轉角φ組成，為L.歐拉首先提出，故得名。它們有多種取法，下面是常見的一種。

　　如圖所示，由定點O作出固定坐標系Oxyz以及固連於剛體的坐標系Ox′y>′z′。以軸Oz和Oz′為基本軸，其垂直面Oxy和Ox′y′為基本平面。由軸Oz量到Oz′的角度θ稱為章動角。平面zOz′的垂線ON稱為節線，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交線。在右手坐標系中，由ON的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸Ox量到節線ON的角度ψ稱為進動角；由節線ON量到動軸Ox′的角度φ稱為自轉角。由軸Oz和Oz′正端看，角ψ和φ也都按逆時針方向計量。歐拉角(ψ，θ，φ)的名稱來源於天文學。

　　三個歐拉角是不對稱的，且在幾個特殊位置上具有不確定性（當θ＝0時，φ和ψ就分不開）。對不同的問題，宜取不同的軸作基本軸，並按不同的方式量取歐拉角。

　　若令Ox′y′z′的原始位置重合於Oxyz，經過相繼繞Oz、ON和Oz′的三次轉動Z(ψ)、N(θ)、Z′(φ)後，剛體將轉到圖示的任意位置（見剛體定點轉動）。變換關系可寫為：

R(ψ，θ，φ)=Z′(φ)N(θ)Z(ψ)，

式中 R、 Z′、 N、 Z是轉動算子，並可用矩陣表示如下：

　

在進行轉動算子的乘法運算時，應從最右端做起。

　　剛體上任一點Q在兩個坐標系中的坐標x、y、z和x′、y′、z′都可以通過矢徑

的模和方向餘弦來表出。兩組坐標之間有如下變換關系：

x＝x′cos(x，x′)+y′cos(x，y′)+z′cos(x，z′)，

y＝x′cos(y，x′)+y′cos(y，y′)+z′cos(y，z′)，

z＝x′cos(z，x′)+y′cos(z，y′)+z′cos(z，z′)。

反變換隻須在同名坐標間對調記號。

　　如果剛體繞通過定點O的某一軸線以角速度ω轉動，而ω在與剛體固連的活動坐標系Ox′y′z′上的投影為

、 、 ，則它們可用歐拉角及其微商表示如下：

＝夗 sin θ sin φ＋夝 cos φ，

＝夗 sin θ cos φ－夝 sin φ，

＝夗 cos θ＋牚。

　　由上式可以看出，如果已知ψ、θ、φ和時間的關系，則可用上式計算角速度ω在活動坐標軸上的三個分量；反之，如在任一瞬時已知t和ω的各個分量，也可利用上式求出ψ、θ、φ和時間t的關系，因而也就決定瞭剛體運動。我們通常把上式叫做歐拉運動學方程。