動能定理

　　動力學普遍定理之一，它給出質點系動能的變化與作用力(包括全部外力和內力)所作的功之間的關係。動能定理有積分形式和微分形式兩種。

　　積分形式的動能定理　設質點系中任一質點的品質為m_i，受外力的合力F

和內力的合力 F 作用，加速度為 a _i，沿曲線軌跡運動到 Q點時的速度為 v_i（見圖）。 根據牛頓第二定律，有：

。　　　　(1)

將式(1)向軌跡的切線方向投影，得 m_ia = F ，或

。　　　　(2)

因　　　　　

，

代入式(2)可得：

m_iv_idv_i=F_icos(F_i，v_i)ds_i。

上式可以改寫為：

，　　　　(3)

式中 T_i為質點 i的動能；d A 和 d A 分別為質點 i上外力和內力的元功。對於整個質點系則應為：

，　　(4)

式中 為質點系的總動能。對式(4)進行積分，可得：

\n

或　　　　　

，　　　　　(5)

式中 為質點系在過程開始時的動能； 為質點系在過程結束時的動能； 為外力在此過程中所作功的總和； 為內力在此過程中所作功的總和。

　　式(5)是以積分形式表示的質點系的動能定理，它表明：質點系的總動能在某個力學過程中的改變量，等於質點系所受的諸外力和諸內力在此過程中所作功的總和。

　　微分形式的動能定理　將式(4)兩邊除以dt，得：

，　(6)

式中 P 為外力的 功率； P 為內力的功率。

　　式(6)是以微分形式表示的質點系的動能定理，它表明：質點系的總動能隨時間的變化率等於質點系所受諸外力和諸內力在單位時間內所作功的總和。

　　質點是質點系的一個特殊情況，故動能定理也適用於質點。但是，對於質點和剛體，諸內力所作功的總和等於零，因為前者根本不受內力作用，而後者的內力則成對出現，其大小相等，方向相反，作用在同一直線上，且剛體上任兩點的距離保持不變，故其內力作功總和等於零。