動量矩定理

　　動力學普遍定理之一，它給出質點系的動量矩與質點系受機械作用的衝量矩之間的關係。動量矩定理有微分形式和積分形式兩種。

　　微分形式的動量矩定理　定義質點系中第i個質點對某定點O的動量矩為L

= r _i× m_iv_i( r _i為第 i個質點的矢徑， m_iv_i為第 i個質點的動量)，它所受外力對點 O的力矩為 M ，所受內力對點 O的力矩為 M 。將上式的兩側對時間求導數，有 。考慮所有質點的合成效果，可得：

　　(1)

式中 為作用於質點系諸外力對點 O的力矩的矢量和； 為諸內力對點 O的力矩的矢量和。但因內力具有大小相等、方向相反和共線的特點，故 。同時， 為質點系對點 O的總動量矩，故(1)式可寫作：

。　　　　　　　　(2)

式(2)就是用微分形式表示的動量矩定理，它表明：質點系對某定點 O的動量矩對時間的導數等於質點系所受諸外力對該點的力矩的矢量和。若將式(2)兩邊投影到直角坐標軸上，則有：質點系對某定軸的動量矩的時間導數等於質點系上所受諸外力對相同軸的力矩的代數和。

　　積分形式的動量矩定理　將式（2）改寫成 dL_O＝

並進行積分。若 L L 和 L 分別表示質點系在時刻 t ₁和 t ₂對某點 O的動量矩，則

，

式中 G _i為作用於質點 i上的外力在時間間隔( t ₂- t ₁)內對 O點的沖量矩。式(3)就是用積分形式表示的動量矩定理，它表明：在某力學過程的時間間隔內，質點系對某點動量矩的改變，等於在同一時間間隔內作用於質點系所有外力對同一點的沖量矩的矢量和。

　　對剛體繞定軸z以角速度ω轉動(轉動慣量為I_z)的情況，可將式(3)投影到z軸上，得：

，

即在某一時間間隔內，剛體對 z軸動量矩( I_zω)的改變，等於在同一時間間隔內作用於剛體上所有外力對 z軸的沖量矩的代數和。

　　質點是質點系的一個特殊情況，故動量矩定理也適用於質點。